Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
9 (1). Уравнение Шредингера. 
Найдем уравнение, которому подчиняются волны де-
Бройля. Сначала рассмотрим свободную нере- лятивистскую частицу. Для такой частицы имеем уравнения де-Бройля (5.2) и (5.3):
E h ; p h hk
а также формулу для кинетической энергии, которая
в данном случае совпадает с полной энергией, т.к. у свободной частицы потенциальная энергия = 0:
E T p2 |
1 px2 py2 pz2 h2 kx2 |
ky2 kz2 . |
|
2m |
2m |
2m |
|
Сравнивая оба выражения для энергии E, находим |
|||
|
h h2 |
kx2 ky2 kz2 . |
(9.1) |
|
2m |
|
|
Свободной частице соответствует плоская волна
де-Бройля: |
Ae 2 i( t kr ) |
|
Продифференцируем эту формулу по t, x, y, z:
2 i i ; |
2 |
4 2kx2 ; |
|||||
t |
|
|
x2 |
|
|
||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 2k2 |
; |
|
4 2kz2 ; |
|||
z2 |
|||||||
y2 |
y |
|
|
|
|||
и выразим отсюда , kx, ky, kz
|
1 |
1 |
|
; |
kx2 |
1 |
1 |
2 |
||||
|
2 i |
t |
4 2 |
x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
ky2 |
|
1 |
1 |
2 |
kz2 |
|
1 |
1 |
2 |
|||
4 |
2 y2 |
|
4 |
2 z2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Подставляя это в формулу (9.1), получаем:
ih |
|
h2 1 1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
||||
2 t |
2m 4 |
2 |
|
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||
i |
|
|
|
|
|
|||||||||||
t |
|
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|
2m |
|||||||
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Это и есть искомое волновое уравнение для свобод- ной нерелятивистской частицы (уравнение Шре- дингера в простейшей форме):
i |
|
|
2 |
|
t |
|
2m |
(9.2) |
Для частицы, движущейся в потенциальном поле ки- нетическая энергия T = E - U, поэтому уравнение (9.2) должно быть записано (обобщено) в виде:
|
|
|
2 |
|
i |
t |
|
2m U |
(9.3) |
Это общее нестационарное (содержащее время) уравнение Шредингера (Schrödinger E., 1926 г., но- белевская премия 1933г) для частицы в потенци- альном поле U. 
Зависимость волновой функции от |
e i t |
e i |
E |
||
времени выражается множителем: |
t |
||||
Поэтому волновая функция может быть представ- |
|||||
лена в виде |
|
|
i |
|
|
откуда |
(x, y, z,t) 0 (x, y, z)e |
Et |
|
||
|
i E 0e |
i |
|
|
|
|
Et |
|
(9.4) |
||
|
t |
|
|
|
|
Подставляя (9.4) в (9.2) и (9.3), находим: |
|
|
|||
0 |
2m E 0 0 |
и 0 |
2m2 (E U ) 0 0 |
||
|
2 |
|
|
|
|
Это стационарное (не зависящее явно от времени) уравнение Шредингера для свободной частицы и для частицы в потенциальном поле U. 
Уравнение Шредингера
Итак, запишем еще раз все четыре формы уравнения Шредингера:
Нестационарное |
i |
|
|
2 |
(9.2) |
t |
|
2m |
|
для свободной частицы |
|
|
|
|
Нестационарное для частицы в потенциаль- ном поле U
Стационарное
(9.5)
для свободной частицы
Стационарное для частицы в потенциаль-
i |
|
|
2 |
U |
|
t |
|
2m |
(9.3) |
0 2m2 E 0 0
0 2m (E U ) 0 02
(9.6)
Приведенные рассуждения следует рас- сматривать как пояснения к тому, каким образом было установлено уравнение Шредингера, но не как “вывод” этого урав- нения. Как и все основные уравнения фи- зики (уравнения Ньютона, Максвелла и т.д.), уравнение Шредингера не “выводит- ся”, а устанавливается, являясь, по сущес- 
тву, обобщением опытных фактов. Спра- 
ведливость этого уравнения подтвержда- ется согласием результатов, получаемых с его помощью, с данными экспериментов.
Уравнение Шредингера содержит первую производную по времени и вторые по 
координатам. Поэтому никаких реальных волн, распространяющихся в физической среде, оно не описывает. Это еще один (третий) аргумент против гипотезы волно- вого пакета и подтверждение статистичес- кой интерпретации волновой функции: 
2 dW dV 
Терминология
Уравнение Шредингера в зависимости от вида функции U может иметь решения, удовлетворяющие естественным услови- ям (конечности, однозначности, непре- рывности, нормировки) либо при любых значениях E, либо лишь при некоторых дискретных значениях E.
Те значения E, при которых уравнение
Шредингера имеет решение, называ- ются собственными значениями.