Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции / 10 Потенциальная яма.ppt
Скачиваний:
24
Добавлен:
31.01.2021
Размер:
40.94 Mб
Скачать

Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра

и элементарных частиц

10 (1). Простейшая задача квантовой

механики:

частица в "потенциальной яме" ("ящике"). Квантовые точки.

Одномерная прямоугольная потенциальная яма ("ящик")

Так называется одномер- ная область, в которой потенциальная энергия

имеет вид, изображен-

ный на рисунке. Для этой области легко получить

точное решение уравне-

ния Шредингера и рас- смотреть задачу о кван-

товании энергии.

Потенциальная энер- гия равна нулю на

дне ямы ("ящика"),

и равна U0 вне сте- нок "ящика".

Одномерная прямоугольная потен-

циальная яма (ящик) с бесконечно высокими стенками

Наиболее простым в мате-

матическом отношении является решение для по-

тенциальной ямы с беско-

нечно высокими стенка- ми. Иногда ее называют ямой с идеально отража- ющими стенками.

0, 0 x L U , x 0, x L

Ширина ямы (ящика)

равна L, высота сте-

нок бесконечно ве- лика. На дне ямы по-

тенциальная энергия

равна нулю.

В этом случае внутри ямы частица дви-

жется свободно, но выйти за ее преде-

лы не может, т.е. за пределами ямы

волновая функция должна обратиться в

нуль. Но волновая функция должна быть непрерывна, поэтому она должна

быть равна нулю в точках x = 0 и x = L:

(0) (L) 0

(10.1)

- это граничные условия для волновой функции .

Стационарное уравнение Шредингера

(9.6)

2m

(E U ) 0

 

 

 

 

2

 

 

внутри ямы принимает вид (т.к. U = 0):

d 2

2m

 

dx2

 

 

2 E 0

(10.2)

Общее решение этого уравнения хорошо известно:

(x) Asin

2Em

x B cos

2Em

x (10.3)

 

 

 

 

 

Из условия (10.1) (0) =0 следует, что B = 0.

Из второго граничного условия (L) = 0 сле-

дует, что

Asin

 

2Em

L 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Em

 

L n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

2Em

 

n

 

(10.4)

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где n = 1, 2, 3, ... - целое число

Таким образом, собственными функция-

ми уравнения Шредингера в рассматри-

ваемой задаче являются волновые

 

функции вида

 

n An sin n x

(10.5)

 

 

L

 

Собственные значения энергии найдем из

формулы (10.4):

 

En

2 2

n2

(10.6)

 

 

2mL2

 

- дискретный спектр собственных значений энергии.

Коэффициент An определим и из условия нормировки (7.2):

 

 

2

2

 

 

 

2 nx

 

1

2

l

 

 

 

 

2 nx

 

 

An

 

 

 

dx

 

An

 

1 cos

 

dx

 

ndx 1

 

 

sin

L

2

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

A L 1

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

т.е. нормирующий множитель у всех собст- венных функций одинаков. Поэтому

n

2

sin

nx

(10.8)

 

L

 

L

 

Графики первых трех собственных функций

Плотность вероятности распределения частиц

По физическому смыслу квадрат модуля собст- венной функции – это плотность вероятности распределения частиц по пространству. В низшем состоянии с наибольшей

вероятностью можно най- ти частицу около середи- ны ящика; вероятность найти ее у стенок равна

нулю.