Задача 3. Расчет инвариантов тензора напряжений Вычислить инварианты тензора напряжений.

Инвариант - величина, которая не зависит от выбора системы координат. Т. е. инвариант не меняется при повороте осей какой-либо системы координат.

Первый, или линейный инвариант, равен следу матрицы тензора напряжений (т. е. сумме его компонент, расположенных на главной диагонали):

. (3)

Второй, или квадратичный инвариант, равен сумме миноров определителя матрицы тензора напряжении при разложении его по главной диагонали:

(4)

Третий, или кубический инвариант, равен определителю матрицы тензора напряжений:

(5)

При повороте осей координат мы имеем новые координатные площадки, на которых действуют какие-то другие напряжения . Но составленные из них инварианты не меняются. Тензоры напряжений, в двух выделенных в очаге деформации бесконечно малых частицах равны, если равны между собой их компоненты.

Задача 4. Определение направляющих косинусов новых осей в старой системе координат Задать три угла Эйлера. Вычислить направляющие косинусы новых осей в старой системе координат.

Старые оси координат обозначены х, у, z . Новые оси обозначим х', у', z' . Положение новых осей относительно старых однозначно определяется тремя углами Эйлера (рисунок 2).

Угол нутации - между положительными направлениями осей Oz' и Oz ( > 0), =123°.

Угол процессии - между осью Ох и линией пересечения ОА плоскостей хОу и х'Оу'. На линии ОА выбрано положительное направление так, что ОА , Oz , Oz' образуют правую тройку векторов. Угол отсчитывается в направлении от Ох к Оу ( ), =248°.

Угол чистого вращения - между Ох' и ОА ; угол отсчитывается в направлении от Ох' и Оу' ( ), =359°.

Обозначим:

(6)

Обозначим далее направляющие косинусы новых осей в старой системе координат так:

l'₁=cos(x',x); m'₁=cos(x',y); n'₁=cos(x',z);

l'₂=cos(y',x); m'₂=cos(y',y); n'₂=cos(y',z); (7)

l'₃=cos(z',x); m'₃=cos(z',y); n'₃=cos(z',z).

Тогда эти направляющие косинусы равны:

l'₁= c₂c₃-c₁s₂s₃; m'₁= s₂c₃-c₁c₂s₃; n'₁=s₁s₃;

l'₂= -c₂s₃-c₁s₂c₃; m'₂= -s₂s₃-c₁c₂c₃; n'₂=s₁c₃; (8)

l'₃=s₁s₂; m'₃=-s₁c₂; n'₃=c₁.

Направляющие косинусы новых осей в старой системе координат (ось z' совпадает с осью z, а оси х', у' повернуты относительно старых осей х, у на угол ):

l'₁=cos( ); m'₁=cos( ); n'₁=cos( );

l'₂=cos( ); m'₂=cos( ); n'₂=cos( );

l'₃=cos( ); m'₃=cos( ); n'₃=1.

Задача 5. Преобразование компонент тензора напряжений к новой системе координат

Найти компоненты тензора напряжений в новой системе координат. Убедиться в правильности расчетов, вычислив инварианты тензора напряжений через его компоненты в новой системе координат.

Компоненты тензора напряжений в старой системе координат х, у, z обозначены ( и так далее).

Компоненты тензора напряжения в новой системе координат х', у', z' обозначим ( и так далее). Они выражаются через компоненты тензора напряжений в старой системе координат так:

, (9)

где по индексам р и q производится суммирование от 1 до 3.

В подробной записи имеем девять формул, так как свободных индексов два — i и j.

Элементы матрицы преобразования В=(b_ij) равны частным производным новых координат по старым:

. (10)

При жестком повороте осей координат новые координаты выражаются через старые так:

x'=l'₁x+m'₁y+n'₁z;

y'=l'₂x+m'₂y+n'₂z; (11)

z'=l'₃x+m'₃y+n'₃z.

Тогда элементы матрицы преобразования В равны:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Итак, элементы матрицы преобразования В равны направляющим косинусам новых осей х', у', z' относительно старых осей х, у, z:

; (12)

.

Тогда, например, по формуле (9) найдем:

=

(13)

.

=

.

Формулу (7) можно записать в матричной, безиндексной форме:

, (14)

где - транспонированная матрица. Матрицу получим, поменяв местами строки и столбцы в матрице В.

.

Инварианты тензора напряжений I'₁, I'₂, I'₃ через его компоненты в новой системе координат вычислим по формулам (3) – (5) для I'₁, I'₂, I'₃, заменив в них на .

I'₁=2, I'₂=-168, I'₃=198_.

Вычисления по формулам (9) выполнены верно, т.к I₁=I'₁, I₂=I'₂, I₃=I'_3.

Задача 6. Вычисление главных нормальных и главных касательных напряжений

Вычислить главные нормальные и главные касательные напряжения. Убедиться в правильности расчетов, вычислив инварианты тензора напряжений через главные нормальные напряжения.

Напряжения, действующие на три взаимно перпендикулярные главные площадки, перпендикулярные главным осям тензора напряжений, называют главными нормальными напряжениями.

В точке М всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систем координат , , , в которой уравнение тензорной поверхности T_ijdxⁱdx^j=T_ijdx'ⁱdx'^j =С примет канонический вид . Такая прямоугольная декартова система координат называется главной системой координат тензора Т в точке М. Оси , , называются главными осями тензора. Единая для всего деформируемого тела главная система координат может быть введена, если тело однородное, и на всех его точках действуют одинаковые напряжения.

.

Главные нормальные напряжения , , равны корням кубического уравнения

. (15)

Кубическое уравнение решим методом тригонометрических подстановок. В начале приведем его к каноническому виду, когда коэффициент при квадрате неизвестного равен нулю. С этой целью заменим:

, (16)

где t - новая переменная.

Получим:

. (17)

Раскроем скобки и сформируем коэффициенты при t³ (он равен единице), при t² (он равен нулю), при t (обозначим его Зр), а также свободный член (обозначим его 2q). Итак, получим кубическое уравнение:

t³+3pt+2q=0. (18)

р = -56,4444.

q = -155,2963.

Вычислим . Знак r должен совпадать со знаком q:

r = 424,0644.

Вычислим далее вспомогательную величину:

cos = q / r³. (19)

=1,1959.

Тогда корни кубического уравнения равны:

(20)

Так как , то , а . Здесь — максимальный, а — минимальный корни кубического уравнения.

;

;

.

Главные касательные напряжения равны полуразностям главных нормальных напряжений, и действуют на площадках, параллельных главным осям и равнонаклоненных к ним:

(21)

где — максимальное главное касательное напряжение.

Инварианты тензора напряжений через главные нормальные напряжения вычислим по формулам:

(22)

Если они совпадают с инвариантами, найденными в задаче 3 по формулам (3)-(5), главные нормальные напряжения вычислены правильно.

Задача 7. Построение главного куба напряжений

Записать матрицу тензора напряжений в главных осях. Показать на рисунке главные нормальные напряжения с учетом их знака и величины по граням главного куба вокруг рассматриваемой точки.

Матрица тензора напряжений в главных осях имеет диагональный вид:

. (23)

Элементарный объем, представленный в форме куба, ограниченного главными площадками, называется главным кубом.

Вокруг рассматриваемой точки деформируемого тела выбираем элементарный объем в виде куба, ребра которого параллельны главным осям тензора напряжений , , . Это главный куб (рисунок 3). На его гранях и показываем главные нормальные напряжения. Положительные напряжения являются растягивающими, а отрицательные - сжимающими. На рисунке 3 напряжения и отрицательны, а — положительно.

Рисунок 14 - Схемы главных нормальных напряжений

Схемы Л₁ и Л₂ соответствуют линейному напряженному состоянию; П₁ П₂, П₃ плоскому; О₁ — О₄ — объемному.