Эргодические движения динамических систем

Будем рассматривать финитные движения.

Рассмотрим некоторую интегрируемую функцию динамических переменных

. (1)

Средним по времени (средним вдоль траектории) наз. величина

. (2)

Здесь

. (3)

Так как

, (4)

то (2) можно переписать в виде

. (5)

Можно показать, что для почти всех начальных условий для (т.е. для всех, кроме множества меры нуль) функция является инвариантной, т.е. не зависит от положения точки на данной траектории.

Фазовым средним функции наз. величина

. (6)

Движение динамической системы наз. эргодическим (или динамическая система наз. эргодической), если для произвольной интегрируемой функции и почти всех начальных условий выполняется равенство временных и фазовых средних :

. (7)

Рассмотрим произвольную область , а в качестве примем

. (8)

Тогда

. (9)

След., фазовое среднее (8) есть относительный объем области .

В эргодическом случае имеем

(10)

В формуле (10) - промежуток времени, который система проводит в за время . След., если движение динамической системы эргодично, то относительное время, проведенное изображающей точкой внутри , равно относительному объему этой области и не зависит от выбора начальных условий.

Для автономных гамильтоновых систем всегда имеется интеграл энергии , поэтому изображающая точка должна перемещаться по гиперповерхности размерности и движение может быть эргодическим только на этой гиперповерхности. Если существует еще интегралов движения, то при заданных значениях этих интегралов эволюция гамильтоновой системы будет происходить на гиперповерхности размерности . С учетом данного замечания условие эргодичности следует переписать в виде

(11)

где интегрирование ведется по гиперповерхности , а - «площадь» этой гиперповерхности.

Т.о., если движение гамильтоновой системы эргодично, то с течением времени фазовая траектория равномерно и плотно будет покрывать гиперповерхность, определяемую всеми интегралами движения в - мерном фазовом пространстве.

Относительный объем некоторой области наз. мерой этой области.

Относительная площадь тоже называется мерой этой гиперповерхности.

Используя понятие меры понятие эргодичности можно определить с помощью формулы

(12)

где интегрирование ведется по всей доступной области фазового пространства. При этом

. (13)

Простым примером эргодического поведения является квазипериодическое движение в гамильтоновой системе из двух гармонических осцилляторов с иррациональным отношением частот. В этом случае фазовая кривая плотно покрывает поверхность тора и движение на нем является эргодическим. Можно рассмотреть действие фазового потока на малую область , принадлежащую поверхности двумерного инвариантного тора. При таком движении на торе сохраняется не только площадь области , но и ее форма.