Устойчивость динамической системы
Рассмотрим динамическую систему
. (1)
Пусть эта система имеет решение
, (2)
удовлетворяющее начальным условиям
. (3)
Пусть
(4)
возмущенное движение, удовлетворяющее начальным условиям
. (5)
Невозмущенное движение наз. устойчивым по Ляпунову,
если
.
Обычно принимают
, (6)
. (7)
Выражение (7) есть норма в пространстве .
Если используется чебышевская метрика для каждой компоненты решения, то определение устойчивости выглядит следующим образом:
Невозмущенное движение наз. устойчивым по Ляпунову,
если
Устойчивость по Ляпунову означает, что решения, близкие по начальным условиям, остаются близкими и при .
Если хотя бы одно неравенство из приведенных выше не выполняется
при сколь угодно малом , то решение наз. неустойчивым по Ляпунову.
Если при расстояние между возмущенным и невозмущенным решениями стремится к нулю, то решение наз.
асимптотически устойчивым.
Устойчивость по Пуассону
Финитное движение наз. устойчивым по Пуассону, если
Устойчивость положения равновесия
Рассмотрим точки , в которых
. (1)
Такие точки наз. положениями равновесия или стационарными точками или особыми точками динамической системы. Существует очевидное решение системы
. (2)
Положение равновесия может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Из неустойчивого равновесия система в результате даже очень малых начальных отклонений может быть отброшена из стационарного состояния и движение станет либо достаточно сложным, либо перейдет в другое стационарное состояние, вообще говоря далекое от первоначального.
Пусть система
(3)
в момент времени находится в состоянии , близком к состоянию равновесия :
, (4)
где - малый - мерный вектор. В произвольный момент времени
. (5)
Подставим (5) в (3). Получим
. (6)
.
Записано разложение в ряд Тейлора. Так как , то получим систему дифференциальных уравнений
. (7)
Если можно пренебречь нелинейными слагаемыми, то получим линейную систему
. (8)
Здесь
(9)
элементы матрицы линеаризации, которую обозначим через .
Теорема Ляпунова утверждает, что если все СЗ матрицы удовлетворяют неравенству
, (10)
то положение равновесия исходной системы асимптотически устойчиво. Если существует хотя бы одно СЗ, для которого
, (11)
то особая точка является неустойчивой. Если же наряду с СЗ с встречаются и такие , для которых , то устойчивость положения равновесия не может быть определена из анализа линеаризованной системы.
СЗ определяются из уравнения
. (12)
Следовательно, изучение устойчивости сводится к анализу корней характеристического уравнения (12).
Иногда наряду с СЗ требуется знать СВ. Они определяются из алгебраических уравнений
.
Критерий Рауса-Гурвица
Пусть характеристическое уравнение имеет вид
. (13)
Пусть уравнение (13) имеет корней
. (14)
Оценку расположения корней можно сделать, не решая уравнения (13).
Теорема Рауса-Гурвица
Для того чтобы все корни уравнения (13) имели необходима и достаточна положительность всех главных диагональных миноров так называемой матрицы Гурвица:
. (15)
Структура матрицы Гурвица такова: по главной диагонали расположены коэффициенты многочлена с до . Столбцы содержат поочередно коэффициенты только с нечетными или только с четными индексами (включая ). Все недостающие элементы (коэффициенты с индексами, меньшими нуля или большими ) заменяются нулями.