Решение:
По условию задачи
имеется интервальный ряд распределения
рабочих, поэтому средняя заработная
плата исчисляется по формуле средней
арифметической взвешенной (сначала
определим середину каждого интервала,
т.е.
).
Следовательно, средняя месячная заработная плата рабочих малых предприятий составляет 4775 руб.
Далее исчислим моду по формуле:
(12)
где
– нижняя граница модального интервала,
– величина
модального интервала,
– частота модального
интервала,
– частота интервала
предшествующего модальному интервалу,
–
частота интервала,
следующего за модальным интервалом.
Таким образом, наиболее часто встречающаяся величина средней месячной заработной платы составляет 4533 руб.
Медиану определим по формуле:
(13)
где
– нижняя граница медианного интервала,
– величина
медианного интервала,
– сумма частот,
– накопление
частот интервала, предшествующего
медианному интервалу,
– частота медианного
интервала.
Следовательно, половина рабочих имеет среднемесячную заработную плату меньше 4667 руб., а половина – больше этой суммы.
Задача 13. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих (табл. 86).
Таблица 86 - Заработная плата рабочих в цехах предприятия
Цех |
Средняя заработная плата, руб. |
Фонд заработной
платы, тыс. руб.
|
Литейный |
3820 |
191 |
Сборочный |
2960 |
592 |
Вычислите среднюю заработную плату рабочих по предприятию в целом.
Решение:
Средняя заработная плата рабочих по цехам может быть вычислена делением фонда заработной платы на численность рабочих. Этот подход должен быть сохранен и при расчете общей средней, т.е. в числителе дроби необходимо представить общий по всем цехам фонд заработной платы, а в знаменателе - общую численность рабочих. Однако фонд заработной платы по цехам есть произведение средних заработков на число рабочих . Фонд заработной платы – единственно возможный в данном случае соизмеритель – вес при расчете средней.
Оба эти обстоятельства обуславливают применение средней гармонической, а с учетом того, что заработки по отдельным цехам получают неодинаковые по численности группы рабочих, следует использовать среднюю гармоническую взвешенную. Тогда
Задача 14. По данным таблицы 87 определите моду и медиану.
Таблица 87 - Группировка предприятий по себестоимости единицы продукции
Группы предприятий |
Себестоимость одного изделия, руб. |
Число предприятий, % |
1 |
110 - 115 |
8,2 |
2 |
115 - 120 |
17,2 |
3 |
120 - 125 |
23,9 |
4 |
125 и выше |
50,7 |
Итого |
|
100,0 |
Решение:
В задании модальным интервалом является, имеющая наибольшую частоту, четвертая группа с интервалом 125 и выше.
Таким образом, чаще всего встречаются предприятия с уровнем себестоимости на одно изделие 126,73 руб.
Для определения медианного значения признака по формуле находим номер медианной единицы ряда по формуле:
(14)
где
- объем совокупности.
В нашем случае:
Необходимо определить, к какой группе относятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Для установления медианной группы необходимо определять накопленную частоту каждого последующей группы до тех пор, пока она не превысит половины суммы накопленных частот (в нашем случае 50,5) (табл. 88).
Таблица 88 - Определение медианного интервала
Группы предприятий |
Себестоимость одного изделия, руб. |
Число предприятий, % |
Сумма накопленных частот |
1 |
110-115 |
8.2 |
8,2 |
2 |
115-120 |
17,2 |
25,4 |
3 |
120-125 |
23,9 |
49,3 |
4 |
125 и выше |
50,7 |
100 |
Итого |
|
100,0 |
X |
Медианным является интервал с границами 125 и выше. Определим теперь медиану:
Таким образом, у половины предприятий уровень себестоимости единицы продукции превышает 125,07 руб.
Задача 15. Известно, что пять рабочих имеет стаж от 1 до 4 лет, семь рабочих от 4 до 7 и четверо – от 7 до 10 лет. По данным гистограммы на рисунке 8 определите моду.
Рис. 8. Гистограмма распределения работников по производственному стажу
Решение:
Для того чтобы определить моду необходимо выбрать самый высокий прямоугольник, который является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяем с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения. Таким образом, мода будет 5,2 года.
Задача 16. Определите медиану по кумуляте на рис. 9.
Рис. 9. Кумулята распределения работников по выполнению производственного плана
Решение:
Для определения медианы из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50 %, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. абсцисса тчоки пересечения является медианой.
Задачи для самостоятельной работы
Задача 1. Имеются данные посевной площади и урожайности озимой ржи в хозяйстве (табл. 89).
Таблица 89 - Посевная площадь и урожайность озимой ржи в хозяйстве
Отделение |
Урожайность, ц с 1 га |
Посевная площадь, га |
1 |
20,0 |
380 |
2 |
24,0 |
504 |
3 |
25,0 |
600 |
Определите среднюю урожайность озимой ржи в хозяйстве.
Задача 2. Имеются данные об урожайности и валовом сборе предприятия (табл. 90).
Таблица 90 - Урожайность и валовой сбор предприятия
Бригады |
Урожайность зерновых, ц с 1 га |
Валовой сбор, ц |
1 |
21 |
4200 |
2 |
25 |
6350 |
3 |
24 |
4320 |
Определите среднюю урожайность зерновых культур, ц с 1 га.
Задача 3. Имеются данные о товарообороте предприятия (табл. 91).
Таблица 91 - Данные о товарообороте предприятия за два периода
Номер групп предприятий |
Базисный период |
Отчетный период |
||
Средний товарооборот на одно предприятие, тыс. руб. |
Число предприятий |
Средний товарооборот на одно предприятие, тыс. руб. |
Весь товарооборот, тыс. руб. |
|
1 |
130 |
16 |
135 |
3222 |
2 |
140 |
10 |
160 |
1280 |
3 |
200 |
18 |
120 |
2400 |
Итого |
|
44 |
|
6350 |
Вычислите средний размер товарооборота на одно предприятие за каждый период. Дайте обоснование применению формул средних, используемых в расчетах. Сделайте выводы.
Задача 4. Данные по предприятиям объединения, выпускающим однородную продукцию, за два периода представлены в таблице 92.
Таблица 92 - Производительность труда на предприятии
№ п/п |
Базисный период |
Отчетный период |
||
Затраты времени на производство единицы продукции, ч |
Произведено продукции, тыс. шт. |
Затраты времени на производство единицы продукции, ч. |
Затраты времени на всю продукцию, тыс. ч |
|
1 |
4 |
30 |
3 |
600 |
2 |
5 |
50 |
4 |
800 |
3 |
3 |
70 |
3 |
270 |
Итого |
|
150 |
|
1670 |
Исчислите затраты времени на производство единицы продукции в среднем по объединению за каждый период. Обоснуйте применение формул для расчета заданных показателей. Сделайте выводы.
Задача 5. По приведенным данным исчислите среднюю урожайность зерновых с одного гектара по СХПК «Колос» за отчетный и базисный год (табл. 93).
Таблица 93 - Данные об урожае и урожайности СХПК «Колос»
№ поля |
Базисный год |
Отчетный год |
||
Урожайность, ц с 1 га |
Валовой сбор, ц |
Урожайность, ц с 1 га |
Посевная площадь, га |
|
1 |
15,0 |
1725 |
14,0 |
130 |
2 |
18,0 |
1800 |
16,0 |
105 |
3 |
20,0 |
2000 |
22,0 |
140 |
Итого |
|
5525 |
|
375 |
Определите: 1) среднюю урожайность зерновых культур по предприятию для каждого года; 2) абсолютное и относительное изменение урожайности зерновых в отчетном году по сравнению с базисным. Дайте обоснование применению формул средних для расчета показателей. Сделайте выводы.
Задача 6. По отделениям сельскохозяйственного предприятия имеются следующие данные о заработной плате рабочих (табл. 94).
Таблица 94 - Заработная плата рабочих на предприятии
Отделения |
Базисный год |
Отчетный год |
||
Средняя заработная плата, тыс. руб. |
Число рабочих |
Средняя заработная плата, тыс. руб. |
Фонд заработной платы, тыс. руб. |
|
I |
15,0 |
200 |
17,0 |
109 |
II |
20,0 |
220 |
8,0 |
138 |
III |
25,0 |
300 |
10,0 |
128 |
Итого |
|
720 |
|
405 |
Вычислите среднемесячную заработную плату по сельскохозяйственному предприятию в целом: а) за базисный период; б) за отчетный период. Обоснуйте применение средних величин. Сравните полученные показатели.
Задача 7. Имеются следующие данные по трем сельскохозяйственным предприятиям, выпускающим одноименную продукцию (табл. 95).
Таблица 95 - Производительность труда рабочих предприятия
С.-х. предприятия |
2009 г. |
2010 г. |
||
Затраты времени на ед. продукции, чел.-час |
Выпуск продукции, тыс. шт. |
Затраты времени на ед. продукции, чел.-час |
Затраты времени на всю продукцию, чел.-час |
|
I |
0,35 |
68,0 |
0,35 |
20300 |
II |
0,45 |
66,0 |
0,43 |
10750 |
III |
0,50 |
44,0 |
0,44 |
25520 |
Итого |
|
178 |
|
56570 |
Вычислите средние затраты времени на единицу продукции по трем заводам, вместе взятым, за каждый год отдельно. Сделайте выводы.
Задача 8. По трем сельскохозяйственным предприятиям района известны следующие данные (табл. 96).
Таблица 96 - Данные об урожае и урожайности предприятий
Предприятия |
Урожайность, ц с 1 га |
Посевная площадь, га |
Валовой сбор, тыс. ц. |
1 |
16,0 |
2110 |
33,8 |
2 |
18,0 |
2700 |
48,6 |
3 |
20,0 |
1190 |
23,8 |
Итого |
|
6000 |
106,2 |
Определите среднюю урожайность зерновых в сельскохозяйственных предприятиях района, используя данные: 1) об урожайности и валовом сборе; 2) об урожайности и посевной площади; 3) о посевной площади и валовом сборе. Какие формулы средних вы использовали в первых двух случаях? Что служит весами в каждой из них?
Задача 9. По акционерным предприятиям имеются следующие данные за два месяца (табл. 97).
Таблица 97 – Исходные данные
Акционерные общества |
Январь |
Февраль |
||
Количество проданных акций, шт. |
Курс продажи, руб. |
Курс продажи, руб. |
Общая сумма сделок, руб. |
|
1 |
200 |
1080 |
1290 |
232200 |
2 |
100 |
1050 |
1160 |
98600 |
3 |
110 |
1145 |
1316 |
177660 |
Итого |
410 |
|
|
|
Вычислите средний курс продажи 1 акции по трем акционерным предприятиям в целом: 1) за январь месяц; 2) за февраль месяц; 3) за два месяца. Дайте выводы.
Задача 10. По предприятию имеются следующие данные (табл. 98).
Таблица 98 – Исходные данные
Номер цеха |
I квартал |
II квартал |
||
брак, % |
фактический выпуск продукции, тыс. руб. |
брак, % |
фактический выпуск брака, тыс. руб. |
|
I |
1,4 |
450 |
1,1 |
8,5 |
II |
0,9 |
1243 |
0,6 |
12,2 |
III |
1,2 |
684 |
0,7 |
6,7 |
Итого |
|
|
|
|
Определите относительную величину брака в среднем по предприятию: 1) за I квартал; 2) за 11 квартал; 3) за I полугодие.
Дайте обоснование применению формул средних для расчета показателей. Сделайте выводы.
Задача 11. Выработка одноименных деталей за смену рабочими трех отделений предприятия характеризуется следующими данными (табл. 99).
Таблица 99 - Выработка одноименных деталей за смену рабочими
Цех |
I квартал |
II квартал |
||
Средняя выработка деталей за смену одним рабочим, шт. |
Число рабочих |
Средняя выработка деталей за смену одним рабочим, шт. |
Выработано всего деталей за смену всеми рабочими, шт. |
|
1 |
90 |
70 |
84 |
5460 |
2 |
120 |
80 |
114 |
7752 |
3 |
105 |
50 |
108 |
4104 |
Итого |
|
200 |
|
17316 |
Вычислите среднюю выработку деталей на одного рабочего по трем отделением предприятия: 1) за I квартал; 2) за II квартал; 3) за I полугодие.
Дайте обоснование применению формул средних для расчета показателей. Сделайте выводы.
Задача 12. Имеются следующие данные о посевной площади и урожайности картофеля по сельскохозяйственному предприятию за два года (табл. 100).
Таблица 100 - Посевная площадь и урожайность картофеля по сельскохозяйственному предприятию
Номер бригады |
Базисный год |
Отчетный год |
||
Урожайность, ц с 1 га |
Валовой сбор, ц |
Урожайность, ц с 1 га |
Посевная площадь, га |
|
1 |
126 |
15120 |
176 |
130 |
2 |
130 |
15600 |
180 |
105 |
3 |
121 |
12584 |
168 |
140 |
Итого |
|
|
|
|
Определите: 1) среднюю урожайность картофеля по сельхозпредприятию для каждого года; 2) абсолютное и относительное изменение урожайности картофеля в отчетном году по сравнению с базисным.
Дайте обоснование применению формул средних для расчета показателей. Сделайте выводы.
Задача 13. Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду имеет следующий вид (табл. 101).
Таблица 101 - Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду
Тарифный разряд |
Число рабочих, чел. |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
26 |
4 |
74 |
5 |
18 |
6 |
4 |
Определите средний уровень квалификации рабочих предприятия.
Задача 14. Имеются следующие данные по фермерским хозяйствам области (табл. 102).
Таблица 102 – Исходные данные
Группы хозяйств по себестоимости 1 ц сахарной свеклы, руб. |
Число хозяйств |
Валовой сбор в среднем на 1 хозяйство, ц |
До 40 |
32 |
111,3 |
40-45 |
58 |
89,7 |
45-50 |
124 |
113,5 |
50 и более |
17 |
130,1 |
Определите среднюю себестоимость 1 ц свеклы в целом по фермерским хозяйствам области.
Задача 15. Качество продукции предприятия характеризуется следующими данными (табл. 103).
Таблица 103 – Исходные данные
Вид продукции |
Процент брака |
Стоимость бракованной продукции, руб. |
А |
1,3 |
2135 |
В |
0,9 |
3560 |
С |
2,4 |
980 |
Определите средний процент брака в целом по предприятию.
Задача 16. Площадь складских помещений города характеризуется следующими данными (табл. 104).
Таблица 104 - Площадь складских помещений города
Группы складских помещений по площади, тыс. м2 |
Число помещений |
До 5 |
3 |
5-10 |
21 |
10-15 |
17 |
15-20 |
9 |
20-25 |
5 |
23-30 |
4 |
30-35 |
4 |
35 и более |
2 |
Постройте гистограмму и кумуляту. Определите модальный и медианный размер складского помещения по формулам и по гистограмме и кумуляте.
Задача 17. Две автомашины прошли один тот же путь. Одна – со скоростью 60 км/ч, другая – 80 км/час. Необходимо определить среднюю скорость автомашин.
Задача 18. По данным таблицы 105 определите моду и медиану.
Таблица 105 - Дневная выработка рабочих предприятия
Дневная выработка рабочего, шт. |
10 |
12 |
15 |
20 |
25 |
30 |
Число рабочих, имеющих данную выработку, чел. |
2 |
10 |
8 |
12 |
9 |
7 |
Задача 19. По данным таблицы 21 на стр. 44 рассчитайте по всем показателям моду и медиану.
Задача 20. Определите моду по рис. 10.
Рис. 10. Гистограмма группировки молочных хозяйств по поголовью коров
Задача 21. Определите моду по рис. 11.
Рис. 11. Гистограмма группировки свиноводческих хозяйств по поголовью свиней