Современные проблемы физики / PhysicalReviewpdf / Trifonov

THE VARIATIONAL

PRINCIPLES IN OPTICS

AND MECHANICS

E. D. TRIFONOV

Variational principles in optics and mechanics that have influenced development of physics are discussed.

к‡ТТН‡Б‡МУ У· УЪН ˚ЪЛЛ ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚ı Ф ЛМˆЛФУ‚ ‚ УФЪЛНВ Л ПВı‡МЛНВ, УН‡Б‡‚¯Лı ·УО¸¯УВ ‚ОЛflМЛВ М‡ ‚ТВ ФУТОВ‰Ы- ˛˘ВВ ‡Б‚ЛЪЛВ ЩЛБЛНЛ.

© нЛЩУМУ‚ Ц.С., 1998

106

ЗАкаАсайззхЦ иказсаих З оабадЦ

Ц. С. нкаойзйЗ

кУТТЛИТНЛИ „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММ˚И ФВ‰‡„У„Л˜ВТНЛИ ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ ЛП. Д.а. ЙВ ˆВМ‡, л‡МНЪ-иВЪВ ·Ы „

ЗЗЦСЦзаЦ

еМУ„ЛВ Б‡НУМ˚ ЩЛБЛНЛ ПУ„ЫЪ ·˚Ъ¸ ‚˚‚В‰ВМ˚ ЛБ ЫЪ‚В К‰ВМЛfl, ˜ЪУ ‰Оfl ЛТЪЛММУ„У ‡Б‚ЛЪЛfl ЛТТОВ‰ЫВПУ„У Ф УˆВТТ‡ УФ В‰ВОВММ‡fl ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛ˜ВТН‡fl ‚ВОЛ˜ЛМ‡ ‰УТЪЛ„‡ВЪ ПЛМЛП‡О¸МУ„У (‚ ·УОВВ У·˘ВП ТОЫ˜‡В ˝НТЪ ВП‡О¸МУ„У) БМ‡˜ВМЛfl ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т ВВ БМ‡˜ВМЛflПЛ ‰Оfl МВНУЪУ ˚ı ‰ Ы„Лı ‚УБПУКМ˚ı ЪВ˜В- МЛИ ˝ЪУ„У Ф УˆВТТ‡. уЪУ·˚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛ ТЩУ ПЫОЛ У‚‡Ъ¸ ˝ЪУ ЫЪ‚В К‰ВМЛВ, МВУ·ıУ‰ЛПУ ‚‚ВТЪЛ ‚

‡ТТПУЪ ВМЛВ Ы ‡‚МВМЛfl, УФЛТ˚‚‡˛˘ЛВ ‰‡ММ˚И Ф УˆВТТ, Л Т ФУПУ˘¸˛ ЛБПВМВМЛfl (‚‡ Л‡ˆЛЛ) Лı ЩУ П˚ ‰У·ЛЪ¸Тfl ‰УТЪЛКВМЛfl ˝НТЪ ВП‡О¸МУ„У БМ‡- ˜ВМЛfl ‚˚˜ЛТОflВПУИ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛ˜ВТНУИ ‚ВОЛ˜ЛМ˚. нВ Ы ‡‚МВМЛfl, Ф Л НУЪУ ˚ı ˝ЪУ ˝НТЪ ВП‡О¸МУВ БМ‡- ˜ВМЛВ ‰УТЪЛ„‡ВЪТfl, Л ‚˚ ‡К‡˛Ъ ЛТЪЛММ˚В Б‡НУМ˚ ЛБЫ˜‡ВПУ„У fl‚ОВМЛfl. З Ъ‡НУП ТОЫ˜‡В ‰‡ММУВ ЫЪ‚В К- ‰ВМЛВ Ф ЛМЛП‡˛Ъ Б‡ ЛТıУ‰МУВ Л М‡Б˚‚‡˛Ъ ‚‡ ˇˆËÓÌÌ˚Ï Ì‡˜‡ÎÓÏ ËÎË ‚‡ ˇˆËÓÌÌ˚Ï Ô Ë̈ËÔÓÏ.

й·˚˜МУВ ЛБОУКВМЛВ ПВı‡МЛНЛ (М‡Ф ЛПВ , Н‡Н ‚ ¯НУО¸МУП НЫ ТВ) УТМУ‚˚‚‡ВЪТfl М‡ Ъ Вı Б‡НУМ‡ı з¸˛ЪУМ‡. д‡Н ЛБ‚ВТЪМУ, а. з¸˛ЪУМ ‚МВТ УТУ·ВММУ БМ‡˜ЛЪВО¸М˚И ‚НО‡‰ ‚ ‡Б‚ЛЪЛВ ПВı‡МЛНЛ. З Т‚УВП Ъ Ы‰В “е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ М‡˜‡О‡ М‡ЪЫ ‡О¸МУИ ЩЛОУТУЩЛЛ” (1687) [1] УМ В¯ЛО ПМУКВТЪ‚У ТОУКМ˚ı Б‡- ‰‡˜ У ‰‚ЛКВМЛЛ П‡ЪВ Л‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ ‚ ФУОВ ˆВМЪ-‡О¸М˚ı ТЛО Л ˝ЪЛП НУМТЪ ЫНЪЛ‚МУ ФУ‰Ъ‚В ‰ЛО Ф ‡‚ЛО¸МУТЪ¸ Б‡НУМ‡ ‚ТВПЛ МУ„У Ъfl„УЪВМЛfl. уЪУ Н‡- Т‡ВЪТfl ‚ЪУ У„У Б‡НУМ‡ з¸˛ЪУМ‡, ЪУ, УˆВМЛ‚‡fl В„У БМ‡˜ВМЛВ, А. щИМ¯ЪВИМ М‡Б˚‚‡О В„У „О‡‚М˚П Б‡НУМУП МВ ЪУО¸НУ ПВı‡МЛНЛ, МУ Л ‚ТВИ ЩЛБЛНЛ. з¸˛ЪУМ (М‡ fl‰Ы Т Й.З. гВИ·МЛˆВП) ·˚О ТУБ‰‡ЪВОВП ‰ЛЩЩВ-ВМˆЛ‡О¸МУ„У Л ЛМЪВ„ ‡О¸МУ„У ЛТ˜ЛТОВМЛИ, У‰М‡НУ Ф Л В¯ВМЛЛ ПВı‡МЛ˜ВТНЛı Б‡‰‡˜ УМ ФУ˜ЪЛ МВ ФУО¸- БУ‚‡ОТfl ˝ЪЛП П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛП ПВЪУ‰УП. йМ Ф ЛПВМflО „ВУПВЪ Л˜ВТНЛИ ПВЪУ‰. З ЫФУПflМЫЪУИ ‚˚¯В НМЛ„В ПМУ„У ˜В ЪВКВИ, ‡ ТЪЛО¸ В¯ВМЛfl Б‡‰‡˜ М‡ФУПЛМ‡ВЪ ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚У „ВУПВЪ Л˜ВТНЛı ЪВУ ВП.

С Ы„УВ М‡Ф ‡‚ОВМЛВ ‚ ПВı‡МЛНВ ‚УБМЛНОУ ФУТОВ‡·УЪ г. щИОВ ‡, ‚ НУЪУ ˚ı ·˚О ЛТФУО¸БУ‚‡М ПВЪУ‰ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУ„У Л ЛМЪВ„ ‡О¸МУ„У ЛТ˜ЛТОВМЛИ ‚ ЩУ ПВ, Ф В‰ОУКВММУИ гВИ·МЛˆВП. йТУ·УВ ‡Б‚Л- ЪЛВ ˝ЪУ М‡Ф ‡‚ОВМЛВ ФУОЫ˜ЛОУ ‚ Ъ Ы‰‡ı Ь. ㇄ ‡М- К‡. ㇄ ‡МК „У ‰ЛОТfl ЪВП, ˜ЪУ ‚ В„У НМЛ„В “АМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl ПВı‡МЛН‡” (1788) МВЪ МЛ У‰МУ„У ЛТЫМН‡ ЛОЛ ˜В ЪВК‡. аПВММУ Т Ф ЛПВМВМЛВП ‡М‡ОЛЪЛ˜ВТНЛı ПВЪУ‰У‚ ‚ ПВı‡МЛНВ Т‚flБ‡М˚ ЛМЪВМТЛ‚МУВ ‡Б- ‚ЛЪЛВ Л Ф ЛПВМВМЛВ ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚ı Ф ЛМˆЛФУ‚. л‡П ЪВ ПЛМ “‚‡ Л‡ˆЛУММ˚И Ф ЛМˆЛФ” ·˚О ‚ФВ ‚˚В

лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹6, 1998

Ф В‰ОУКВМ ‚ ‡·УЪВ щИОВ ‡. й‰М‡НУ, ФУТНУО¸НЫ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ Л ЛМЪВ„ ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛfl ОВ- К‡Ъ М‡ „ ‡МЛˆВ ¯НУО¸М˚ı БМ‡МЛИ ФУ П‡ЪВП‡ЪЛНВ, П˚ МВ ·Ы‰ВП БОУЫФУЪ В·ОflЪ¸ ЛПЛ Л ФУТЪ‡ ‡ВПТfl ФУflТМЛЪ¸ ЩЛБЛ˜ВТНЫ˛ Л‰В˛ ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚ı Ф ЛМˆЛФУ‚ Т ФУПУ˘¸˛ ˝ОВПВМЪ‡ М˚ı Т В‰ТЪ‚, ‰УТЪЫФМ˚ı ¯НУО¸МЛН‡П. щЪУ Н‡Н ‡Б Л ·Ы‰ВЪ ТУТЪ‡‚ОflЪ¸ ПВЪУ- ‰Л˜ВТНЫ˛ УТУ·ВММУТЪ¸ М‡¯В„У ЛБОУКВМЛfl. 燂 - МУВ, ˝ЪУЪ Ф УТЪУИ ‚Б„Оfl‰ М‡ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ТОУКМЫ˛ Ф У·ОВПЫ УН‡КВЪТfl ФУОВБМ˚П Л ‰Оfl ЪВı, НЪУ ·Ы‰ВЪ ЛБЫ˜‡Ъ¸ ˝ЪЛ ‚УФ УТ˚ М‡ ·УОВВ ТВ ¸ВБМУП Ы У‚МВ. е˚ Ъ‡НКВ ТУ‚ВЪЫВП Б‡ЛМЪВ ВТУ‚‡ММУПЫ ˜ЛЪ‡ЪВО˛ ФУБ- М‡НУПЛЪ¸Тfl ТУ ТЪ‡Ъ¸ВИ [2], ФУТ‚fl˘ВММУИ ЛБОУКВМЛ˛ УФЪЛНУ-ПВı‡МЛ˜ВТНУИ ‡М‡ОУ„ЛЛ.

З М‡¯Л ‰МЛ ЛТФУОМflВЪТfl 300 ОВЪ Т ЪУ„У ПУПВМЪ‡, НУ„‰‡ ·˚ОЛ УФЫ·ОЛНУ‚‡М˚ ФВ ‚˚В ТУУ·˘ВМЛfl У ‚‡-Л‡ˆЛУММУП Ф ЛМˆЛФВ ‚ ПВı‡МЛНВ. З НУ УЪНУП ФЛТ¸ПВ М‡ ФУОТЪ ‡МЛˆ˚, УФЫ·ОЛНУ‚‡ММУП ‚ Л˛М¸- ТНУП МУПВ В МВПВˆНУ„У М‡Ы˜МУ„У КЫ М‡О‡ “м˜ВМ˚В Ъ Ы‰˚” (“Acta Eruditorum”) Б‡ 1696 „У‰ (ТП. [3]), аУ- „‡ММ ЕВ МЫООЛ ФУТЪ‡‚ЛО ТОВ‰Ы˛˘Ы˛ Б‡‰‡˜Ы: “З ‚В - ЪЛН‡О¸МУИ ФОУТНУТЪЛ ‰‡М˚ ‰‚В ЪУ˜НЛ А Ë Ç. йФ В‰В- ОЛЪ¸ ФЫЪ¸, ТФЫТН‡flТ¸ ФУ НУЪУ УПЫ ФУ‰ ‚ОЛflМЛВП ТУ·ТЪ‚ВММУИ ЪflКВТЪЛ, ЪВОУ, М‡˜‡‚ ‰‚Л„‡Ъ¸Тfl ЛБ ЪУ˜НЛ А, ‰ÓȉÂÚ ‰Ó ÚÓ˜ÍË Ç Б‡ Н ‡Ъ˜‡И¯ВВ ‚ ВПfl”. З НУМˆВ ФЛТ¸П‡ „У‚У ЛОУТ¸, ˜ЪУ ˝Ъ‡ Н Л‚‡fl ıУ У¯У ЛБ‚ВТЪМ‡ ‚ „ВУПВЪ ЛЛ Л ˜ЪУ ВТОЛ ФУ ЛТЪВ˜ВМЛЛ ЪВНЫ˘В„У „У‰‡ МЛНЪУ МВ УФЫ·ОЛНЫВЪ В¯ВМЛВ, ЪУ ˝ЪУ Т‰ВО‡ВЪ Т‡П ‡‚- ЪУ . З ˝ЪУЪ Т УН УЪНОЛНМЫОТfl ЪУО¸НУ гВИ·МЛˆ. лУ- У·˘‡fl, ˜ЪУ ЫКВ В¯ЛО ФУТЪ‡‚ОВММЫ˛ Б‡‰‡˜Ы, УМ Ф В‰ОУКЛО Ф У‰ОЛЪ¸ НУМНЫ Т ‰У и‡ТıЛ ТОВ‰Ы˛˘В„У „У‰‡. а ‚УЪ ‚ П‡ИТНУП МУПВ В ЪУ„У КВ КЫ М‡О‡ Б‡ 1697 „У‰ ·˚ОЛ УФЫ·ОЛНУ‚‡М˚ В¯ВМЛfl ˝ЪУИ Б‡‰‡˜Л, ФУОЫ˜ВММ˚В гВИ·МЛˆВП, ьНУ·УП ЕВ МЫООЛ (· ‡ЪУП

à.ЕВ МЫООЛ), Й. гУФЛЪ‡ОВП Л Т‡ПЛП аУ„‡ММУП ЕВ - МЫООЛ. З П‡ИТНУП КВ МУПВ В ‡М„ОЛИТНУ„У КЫ М‡О‡ “оЛОУТУЩТНЛВ Ъ Ы‰˚” (“Philosophical Transactions”) ·˚ОУ ФУПВ˘ВМУ В¯ВМЛВ з¸˛ЪУМ‡ ·ВБ ФУ‰ФЛТЛ. зУ

à.ЕВ МЫООЛ УФ В‰ВОЛО ‡‚ЪУ ‡. аТЪУ Лfl ТУı ‡МЛО‡ В„У ТОУ‚‡: “ь ЫБМ‡О О¸‚‡ ФУ В„У НУ„ЪflП”.

д‡Н ·Ы‰ВЪ ФУН‡Б‡МУ МЛКВ, Л‰Вfl ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚ı Ф ЛМˆЛФУ‚ ‚ ПВı‡МЛНВ ·˚О‡ ЛМЛˆЛЛ У‚‡М‡ ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚П Ф ЛМˆЛФУП ‚ УФЪЛНВ – Ф ЛМˆЛФУП оВ П‡.

ЗДкаДсайззхв иказсаи ЙЦйеЦнкауЦлдйв йинада – иказсаи оЦкеД

З‡ Л‡ˆЛУММ˚И Ф ЛМˆЛФ „ВУПВЪ Л˜ВТНУИ УФЪЛНЛ ·˚О Ф В‰ОУКВМ и¸В УП оВ П‡ (1601–1665) МВТНУО¸НУ ‡МВВ УФЛТ‡ММ˚ı ‚˚¯В ТУ·˚ЪЛИ, ‡ ЛПВММУ ‚ 1662 „У‰Ы: ЦТОЛ ‰‚В ЪУ˜НЛ М‡ıУ‰flЪТfl ‚ ‡БОЛ˜М˚ı Ф УБ ‡˜М˚ı (У‰МУ У‰М˚ı) Т В‰‡ı, ЪУ ОЫ˜ Т‚ВЪ‡, ˜ЪУ·˚ Ф УИЪЛ УЪ У‰МУИ ЪУ˜НЛ Н ‰ Ы„УИ, Ф ВОУПОflВЪТfl Ы ФОУТНУИ ФУ‚В ıМУТЪЛ, ФУ НУЪУ УИ ТУФ ЛН‡Т‡˛ЪТfl У·В Т В- ‰˚, Ъ‡НЛП У· ‡БУП, ˜ЪУ ЫФУЪ В·ОflВЪ ‚УБПУКМУ ПВМ¸- ¯ВВ ‚ ВПfl, ТУ‚В ¯ВММУ Ъ‡Н КВ, Н‡Н ˝ЪУ Ф УЛТıУ‰ЛЪ Ф Л УЪ ‡КВМЛЛ УЪ ФОУТНУИ ФУ‚В ıМУТЪЛ. пУЪfl Т‡П оВ П‡ ЛТıУ‰ЛО ЛБ ‰У‚УО¸МУ У·˘В„У ФУТЪЫО‡Ъ‡ –

Ф Л У‰‡ ‰ВИТЪ‚ЫВЪ М‡Л·УОВВ ОВ„НЛПЛ Л ‰УТЪЫФМ˚ПЛ

ÔÛÚflÏË, – В„У ТЪ‡Ъ¸fl МУТЛО‡ ‚ФУОМВ НУМТЪ ЫНЪЛ‚- М˚И ı‡ ‡НЪВ (ТП.[3]). йМ ‰УН‡Б‡О, ˜ЪУ Ф ЛМˆЛФ М‡- ЛПВМ¸¯В„У ‚ ВПВМЛ fl‚ОflВЪТfl ТОВ‰ТЪ‚ЛВП Б‡НУМ‡ Ф ВОУПОВМЛfl.

З˚¯В П˚ Ф Л‚ВОЛ ЩУ ПЫОЛ У‚НЫ Ф ЛМˆЛФ‡ оВ - П‡, ‰‡ММЫ˛ п ЛТЪЛ‡МУП Й˛И„ВМТУП (1629–1695), ТУ- ‚ ВПВММЛНУП оВ П‡, ‚ В„У БМ‡ПВМЛЪУП “н ‡НЪ‡ЪВ У Т‚ВЪВ” (1678) [4]. е˚ ‚УТФ УЛБ‚В‰ВП Б‰ВТ¸ Ъ‡НКВ ФУ˜- ЪЛ ‰УТОУ‚МУ Ф ЛМ‡‰ОВК‡˘ВВ ВПЫ ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚У Ф ЛМˆЛФ‡ оВ П‡, У·О‡‰‡˛˘ВВ ·УО¸¯ВИ Ф УТЪУЪУИ ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚УП Т‡ПУ„У оВ П‡.

н‡Н КВ Н‡Н Л оВ П‡, Й˛И„ВМТ Т˜ЛЪ‡О, ˜ЪУ ‚ ФОУЪМУИ Т В‰В Т‚ВЪ ‡ТФ УТЪ ‡МflВЪТfl Т ПВМ¸¯ВИ ТНУ У- ТЪ¸˛, ˜ВП ‚ ‚‡НЫЫПВ. иЫТЪ¸ KF – ФОУТНУТЪ¸, ‡Б‰ВОfl- ˛˘‡fl ‰‚В Т В‰˚ ( ЛТ. 1), Л ЪУ˜Н‡ A М‡ıУ‰ЛЪТfl ‚ ПВМВВ ФОУЪМУИ Т В‰В (М‡Ф ЛПВ , ‚ ‚УБ‰ЫıВ), ‡ ЪУ˜Н‡ C – ‚ ·УОВВ ФОУЪМУИ Т В‰В (М‡Ф ЛПВ , ‚ ‚У‰В). иЫТЪ¸ ОЫ˜ Ф УıУ‰ЛЪ ЛБ ЪУ˜НЛ A ˜Â ÂÁ ÚÓ˜ÍÛ B, ÎÂʇ˘Û˛ ̇ „ ‡ÌˈÂ, ‚ ÚÓ˜ÍÛ C ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т Б‡НУМУП Ф В- ОУПОВМЛfl

„‰Â n1, c1, n2, c2 – ФУН‡Б‡ЪВОЛ Ф ВОУПОВМЛfl Л ТНУ УТЪЛ‡ТФ УТЪ ‡МВМЛfl Т‚ВЪ‡ ‚ ‚В ıМВИ Л МЛКМВИ Т В‰‡ı ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ. иУ Ф В‰ФУОУКВМЛ˛, n1 < n2, c1 > c2.

н В·ЫВЪТfl ‰УН‡Б‡Ъ¸, ˜ЪУ ‚ ВПfl Ф УıУК‰ВМЛfl Т‚В- Ъ‡ ФУ Ъ‡НУПЫ ОЫ˜Ы Т‡ПУВ НУ УЪНУВ ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т ‚ ВПВМВП Ф УıУК‰ВМЛfl ФУ О˛·УПЫ ‰ Ы„УПЫ Ф ВОУПОВММУПЫ ОЫ˜Ы. и ЛПВМЛП ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚У УЪ Ф УЪЛ‚- МУ„У. СУФЫТЪЛП, ˜ЪУ Т‚ВЪ Ф У¯ВО ФУ ‰ Ы„УПЫ ОЫ˜Ы AFC, Ú‡Í ˜ÚÓ ÚӘ͇ F УЪТЪУЛЪ УЪ ЪУ˜НЛ A ‰‡Î¸¯Â, ˜ÂÏ ÚӘ͇ B. è ӂ‰ÂÏ Ô flÏÛ˛ FO', Ô‡ ‡ÎÎÂθÌÛ˛ AB, Ë ÔÓÒÚ ÓËÏ Ô ÔẨËÍÛÎfl ˚ AO Ë BH Н ˝ЪЛП Ф flП˚П. йФЫТЪЛП Ъ‡НКВ ФВ ФВМ‰ЛНЫОfl FG ̇ Ô flÏÛ˛ BC. àÁ ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ HBF ‡‚ÂÌ PBA, ‡ BFG ‡‚ÂÌ QBC

A

H

F

K B L

G

Q C

êËÒ. 1. уВ ЪВК ЛБ ‡·УЪ˚ п. Й˛И„ВМТ‡ “н ‡НЪ‡Ъ У Т‚ВЪВ”, ФУflТМfl˛˘ЛИ ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚У Ф ЛМˆЛФ‡ оВ П‡ М‡ УТМУ‚‡МЛЛ Б‡НУМ‡ Ф ВОУПОВМЛfl

(Í‡Í Û„Î˚ Ò ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ Ó ÚÓ„Ó̇θÌ˚ÏË ÒÚÓ Ó- ̇ÏË), ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ

èÓ˝ÚÓÏÛ, Òӄ·ÒÌÓ (1), ‚ ÂÏfl ‡ÒÔ ÓÒÚ ‡ÌÂÌËfl Ò‚Â- Ú‡ ÔÓ ÓÚ ÂÁÍÛ HF ‡‚МУ ‚ ВПВМЛ ‡ТФ УТЪ ‡МВМЛfl ФУ УЪ ВБНЫ BG:

HF BG

------- = -------.

c1 c2

í‡ÍËÏ Ó· ‡ÁÓÏ, ‚ ÂÏfl Ô ÓıÓʉÂÌËfl Ò‚ÂÚ‡ ÔÓ ÎÛ- ˜Û OF ·˚ОУ ·˚ ‡‚МУ ‚ ВПВМЛ Ф УıУК‰ВМЛfl Т‚ВЪ‡ ФУ ФЫЪЛ ABG. С‡ОВВ У˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ Ъ‡Н Н‡Н „ЛФУЪВМЫБ‡ FC ·Óθ¯Â ͇ÚÂÚ‡ GC, ÚÓ ‚ ÂÏfl Ô ÓıÓʉÂÌËfl ÔÓ ÔÛÚË OFC ·Óθ¯Â, ˜ÂÏ ÔÓ ÔÛÚË ABC. з‡НУМВˆ, ФУТНУО¸НЫ „ЛФУЪВМЫБ‡ AF ·Óθ¯Â ͇ÚÂÚ‡ OF, ÚÓ ‚ ÂÏfl Ô ÓıÓʉÂÌËfl Ò‚ÂÚ‡ ÔÓ ÔÛÚË AFC ·УО¸¯В ‚ ВПВМЛ Ф УıУК‰ВМЛfl Т‚ВЪ‡ ФУ ФЫЪЛ OFC Ë ÚÂÏ ·ÓΠÔÓ ÔÛÚË ABC. д ‡М‡ОУ„Л˜МУПЫ Б‡НО˛˜ВМЛ˛ ПУКМУ Ф ЛИЪЛ Л ‚ ТОЫ˜‡В, НУ„‰‡ ЪУ˜Н‡ F ОВКЛЪ ОВ‚ВВ ЪУ˜НЛ B. í‡ÍËÏ Ó· ‡ÁÓÏ, ‚ ÂÏfl Ô ÓıÓʉÂÌËfl Ò‚ÂÚ‡ ÔÓ ABC Т‡ПУВ НУ-УЪНУВ ЛБ ‚УБПУКМ˚ı, ˜ЪУ Л Ъ В·У‚‡ОУТ¸ ‰УН‡Б‡Ъ¸.

аМЪВ ВТМУ, ˜ЪУ ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚Ы Й˛И„ВМТ‡ Б‡НУМ‡ Ф ВОУПОВМЛfl М‡ УТМУ‚‡МЛЛ В„У „ЛФУЪВБ˚ У ‚УОМУ- ‚УИ Ф Л У‰В Т‚ВЪ‡ (НУЪУ УВ Ф Л‚У‰ЛЪТfl ‚ ¯НУО¸МУП НЫ ТВ ЩЛБЛНЛ) Ф В‰¯ВТЪ‚У‚‡ОУ ‡ТТЫК‰ВМЛВ Ф‡ЪВ ‡ еВМ¸flМ‡ “й ТУО‰‡ЪТНУП Щ УМЪВ” (1648) (ТП. [5]). Ц„У ЛТФУО¸БУ‚‡О аТ‡‡Н Е‡ УЫ (1631–1667) ‚ Т‚УЛı “гВНˆЛflı ФУ П‡ЪВП‡ЪЛНВ Л УФЪЛНВ” (1668), ‚ ФУ‰„У- ЪУ‚НВ Н ЛБ‰‡МЛ˛ НУЪУ ˚ı Ы˜‡ТЪ‚У‚‡О аТ‡‡Н з¸˛ЪУМ (1643–1727). (з¸˛ЪУМ ·˚О Ы˜ВМЛНУП Л Ф ВВПМЛНУП Е‡ УЫ ФУ гЫН‡ТУ‚ТНУИ Н‡ЩВ‰ В ‚ дВП· Л‰КТНУП ЫМЛ‚В ТЛЪВЪВ.) щЪЛ ‡ТТЫК‰ВМЛfl У˜ВМ¸ Ф УТЪ˚ Л М‡- „Оfl‰М˚. йМЛ Т‚У‰flЪТfl Н ЪУПЫ, ˜ЪУ Ф Л ФВ ВıУ‰В ЛБ У‰МУИ Т В‰˚ ‚ ‰ Ы„Ы˛ Т‚ВЪУ‚УИ Щ УМЪ ПВМflВЪ Т‚УВ М‡Ф ‡‚ОВМЛВ Ъ‡Н КВ, Н‡Н ПВМflВЪ М‡Ф ‡‚ОВМЛВ ¯В-ВМ„‡ ТУО‰‡Ъ, НУ„‰‡ ОЫ„, ФУ НУЪУ УПЫ Л‰ЫЪ ТУО‰‡Ъ˚, Ф В„ ‡К‰‡ВЪТfl Ф‡¯МВИ Л „ ‡МЛˆ‡ ПВК‰Ы Ф‡¯МВИ Л ОЫ„УП Ф УıУ‰ЛЪ ФУ‰ Ы„ОУП Н ¯В ВМ„В. лНУ УТЪ¸ ‰‚Л- КВМЛfl ТУО‰‡Ъ ФУ Ф‡¯МВ ПВМ¸¯В, ˜ВП ФУ ОЫ„Ы. СОfl ТУ- ı ‡МВМЛfl ТЪ Уfl ТУО‰‡Ъ˚ ‰УОКМ˚ П‡ ¯Л У‚‡Ъ¸ ФУ Ф‡ ‡ООВО¸М˚П ОЛМЛflП Н‡Н Ф Л ‰‚ЛКВМЛЛ ФУ ОЫ„Ы, Ъ‡Н Л ФУ Ф‡¯МВ. кЛТЫМУН, ЛОО˛ТЪ Л Ы˛˘ЛИ Ъ‡НУВ ‰‚ЛКВМЛВ ТУО‰‡ЪТНУ„У Щ УМЪ‡, ‡М‡ОУ„Л˜ВМ ЪУПЫ, НУЪУ ˚И ЛТФУО¸БУ‚‡О Й˛И„ВМТ ‰Оfl У·˙flТМВМЛfl ЛБПВМВМЛfl ‚УОМУ‚У„У Щ УМЪ‡ Ф Л Ф ВОУПОВМЛЛ Л НУЪУ-˚И ЪВФВ ¸ ‚УТФ УЛБ‚У‰ЛЪТfl ‚У ‚ТВı Ы˜В·МЛН‡ı. й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ Щ УМЪ ТУО‰‡Ъ ·˚ТЪ ВВ ‚ТВ„У ФВ ВТВ- ˜ВЪ О˛·УВ Б‡ПВ˜ВММУВ ПВТЪУ М‡ Ф‡¯МВ, ВТОЛ М‡Ф ‡‚- ОВМЛВ ¯В ВМ„Л ·Ы‰ВЪ ФУ‰˜ЛМflЪ¸Тfl Б‡НУМЫ Ф ВОУПОВМЛfl (1). н‡НЛП У· ‡БУП, ‚ ˝ЪЛı ‡ТТЫК‰ВМЛflı Щ‡НЪЛ˜ВТНЛ ТУ‰В К‡ОУТ¸ ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚У Б‡НУМ‡ Ф ВОУПОВМЛfl М‡ УТМУ‚‡МЛЛ Ф ЛМˆЛФ‡ оВ П‡.

и ЛМˆЛФ оВ П‡ ТФ ‡‚В‰ОЛ‚ ‰Оfl О˛·УИ МВУ‰МУ-У‰МУИ УФЪЛ˜ВТНУИ Т В‰˚ Т МВФ В ˚‚МУ ЛБПВМfl˛- ˘ЛПТfl ФУН‡Б‡ЪВОВП Ф ВОУПОВМЛfl. б‰ВТ¸ ЪУО¸НУ ТОВ‰ЫВЪ Т‰ВО‡Ъ¸ ТЫ˘ВТЪ‚ВММЫ˛ У„У‚У НЫ: ‚ МВУ‰МУ-У‰МУИ УФЪЛ˜ВТНУИ Т В‰В ‰‚В ЪУ˜НЛ ПУ„ЫЪ ·˚Ъ¸ ТУ-

В‰ЛМВМ˚ МВТНУО¸НЛПЛ ОЫ˜‡ПЛ (Ф ЛПВ УП ПУКВЪ ТОЫКЛЪ¸ ıУ‰ ОЫ˜ВИ Ф Л ‚УБМЛНМУ‚ВМЛЛ МЛКМВ„У ПЛ-‡К‡) (ТП. [2]). иУ˝ЪУПЫ Ъ В·ЫВЪТfl ЫЪУ˜МВМЛВ ЩУ ПЫОЛ У‚НЛ Ф ЛМˆЛФ‡ оВ П‡: ‚ ВПfl ‡ТФ УТЪ ‡МВМЛfl Т‚ВЪ‡ ‚‰УО¸ ОЫ˜‡ ПВК‰Ы ‰‚ЫПfl ЪУ˜Н‡ПЛ МВУ‰МУ У‰МУИ УФЪЛ˜ВТНУИ Т В‰˚ Т МВФ В ˚‚МУ ЛБПВМfl˛˘ЛПТfl ФУН‡- Б‡ЪВОВП Ф ВОУПОВМЛfl ПЛМЛП‡О¸МУ ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т ‚ В- ПВМВП ‡ТФ УТЪ ‡МВМЛfl Т‚ВЪ‡ ‚‰УО¸ О˛·УИ ·ВТНУМВ˜МУ ·ОЛБНУИ Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ, ТУВ‰ЛМfl˛˘ВИ ˝ЪЛ КВ ЪУ˜НЛ. иУ ФУ‚У‰Ы ‰ Ы„Лı ЫЪУ˜МВМЛИ ЩУ ПЫОЛ У‚НЛ Ф ЛМˆЛФ‡ оВ П‡ П˚ ‚˚МЫК‰ВМ˚ УЪУТО‡Ъ¸ ˜ЛЪ‡ЪВОfl Н ·УОВВ ‰В- Ъ‡О¸МУПЫ ЛБОУКВМЛ˛ ˝ЪУ„У ‚УФ УТ‡ [6].

бДСДуД й ЕкДпалнйпкйзЦ

нВФВ ¸ ‡ТТН‡КВП ·УОВВ ФУ‰ У·МУ У ЪУП Т‡ПУП ‚‡ Л‡ˆЛУММУП Ф ЛМˆЛФВ, НУЪУ ˚И ·˚О Ф В‰ОУКВМ аУ„‡ММУП ЕВ МЫООЛ (1667–1748). иУТЪ‡‚ОВММ‡fl ЛП Б‡‰‡˜‡ ФУОЫ˜ЛО‡ М‡Б‚‡МЛВ Á‡‰‡˜Ë Ó · ‡ıËÒÚÓı ÓÌÂ, ЪУ ВТЪ¸ У ОЛМЛЛ М‡Л·˚ТЪ ВИ¯В„У ТФЫТН‡. и В‰ФУО‡„‡ВЪТfl, ˜ЪУ П‡ЪВ Л‡О¸М‡fl ЪУ˜Н‡ М‡ıУ‰ЛЪТfl ‚ У‰МУ У‰МУП ФУОВ ЪflКВТЪЛ Л ПУКВЪ ТН‡Ъ˚‚‡Ъ¸Тfl ‚МЛБ ФУ МВНУЪУ-УИ Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ (Н‡Н ·ЫТЛМН‡, М‡МЛБ‡ММ‡fl М‡ Ф У- ‚УОУНЫ УФ В‰ВОВММУИ ЩУ П˚). н ВМЛВП Ф Л ˝ЪУП Ф ВМВ· В„‡˛Ъ, ‡ М‡˜‡О¸М‡fl ТНУ УТЪ¸ П‡ЪВ Л‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ ‡‚М‡ МЫО˛. йЪ‚ВЪ, ФУОЫ˜ВММ˚И а. ЕВ МЫООЛ: ˝ЪУИ Н Л‚УИ fl‚ОflВЪТfl ˆЛНОУЛ‰‡ – Н Л‚‡fl, НУЪУ Ы˛ УФЛТ˚‚‡ВЪ ЪУ˜Н‡ М‡ У·У‰В НУОВТ‡ Ф Л В„У Н‡˜ВМЛЛ.

к‡ТТПУЪ ЛП У‰МУ ‚‡КМУВ ‰Оfl ‰‡О¸МВИ¯В„У Т‚УИТЪ‚У ˆЛНОУЛ‰˚. иЫТЪ¸ Б‡‰‡М‡ УН ЫКМУТЪ¸ ‰Л‡ПВЪ ‡ d, ÍÓÚÓ ‡fl ͇ÚËÚÒfl ÔÓ Ô flÏÓÈ y = d ‚ ФУОУКЛЪВО¸МУП М‡Ф ‡‚ОВМЛЛ УТЛ éX, Í‡Í ˝ÚÓ ÔÓ͇Á‡ÌÓ Ì‡ ËÒ. 2.

èÛÒÚ¸ ÚӘ͇ å УН ЫКМУТЪЛ ‚ М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ ЛПВО‡ НУУ ‰ЛМ‡Ъ˚ x = 0, y = d. д ПУПВМЪЫ ‚ ВПВМЛ t УН ЫКМУТЪ¸ ФУ‚В МЫО‡Т¸ М‡ Ы„УО ϕ, Л ЪУ˜- НУИ Н‡Т‡МЛfl УН ЫКМУТЪЛ УТЛ OX fl‚ÎflÂÚÒfl ÚӘ͇ N. íӘ͇ N ЛПВВЪ МЫОВ‚Ы˛ П„МУ‚ВММЫ˛ ТНУ УТЪ¸, Л, Н‡Н „У‚У flЪ, ˜В ВБ МВВ Ф УıУ‰ЛЪ П„МУ‚ВММ‡fl УТ¸ ‚ ‡˘ВМЛfl. иУ˝ЪУПЫ ЪУ˜Н‡ å ‚ ‰‡ММ˚И ПУПВМЪ ‰‚Л- КВЪТfl ФУ УН ЫКМУТЪЛ ‡‰ЛЫТ‡ MN, ‡ Н‡Т‡ЪВО¸М‡fl Н ˆЛНОУЛ‰В ‚ ЪУ˜НВ M ФВ ФВМ‰ЛНЫОfl М‡ Н П„МУ‚ВММУПЫ ‡‰ЛЫТЫ ‚ ‡˘ВМЛfl MN.

м˜ЛЪ˚‚‡fl ˝ЪУ, ПУКМУ ·ВБ ·УО¸¯У„У Ъ Ы‰‡ УФ В‰В- ОЛЪ¸, ˜ЪУ Ы„УО α, НУЪУ ˚И Н‡Т‡ЪВО¸М‡fl SMK Ó· ‡ÁÛÂÚ

êËÒ. 2. д ‡ТМ‡fl Н Л‚‡fl – ˆЛНОУЛ‰‡, Ф В‰ТЪ‡‚Оfl˛- ˘‡fl ТУ·УИ Ъ ‡ВНЪУ Л˛ ‰‚ЛКВМЛfl ЪУ˜НЛ M УН ЫКМУТЪЛ, НУЪУ ‡fl Н‡ЪЛЪТfl ФУ Ф flПУИ y = d ‚ ФУОУКЛЪВО¸МУП М‡Ф ‡‚ОВМЛЛ УТЛ OX. З М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ ЪУ˜Н‡ M ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ò ÚÓ˜ÍÓÈ A

Ò ÓÒ¸˛ OY, ‡‚ÂÌ ϕ/2. é ‰Ë̇ÚÛ y ÚÓ˜ÍË M ПУКМУ Ф В‰ТЪ‡‚ЛЪ¸ ‚ ‚Л‰В

йЪТ˛‰‡ Т ФУПУ˘¸˛ ˝ОВПВМЪ‡ М˚ı Ъ Л„УМУПВЪ Л˜В- ТНЛı ЩУ ПЫО ФУОЫ˜‡ВП Ы ‡‚МВМЛВ, Т‚flБ˚‚‡˛˘ВВ У - ‰ЛМ‡ЪЫ ЪУ˜НЛ ˆЛНОУЛ‰˚ Т Ы„ОУП α:

л ФУПУ˘¸˛ ˝ЪУ„У Ы ‡‚МВМЛfl ПУКМУ Ф У‚ВТЪЛ ФУТЪ УВМЛВ ˆЛНОУЛ‰˚. б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ‚ ЪУ˜НВ A (x = 0, y = d), ЛБ НУЪУ УИ ЛТıУ‰ЛЪ ˆЛНОУЛ‰‡, α = 0 Л, ТОВ‰У- ‚‡ЪВО¸МУ, Н‡Т‡ЪВО¸М‡fl Ф‡ ‡ООВО¸М‡ УТЛ OY. лПВТЪЛ‚¯ЛТ¸ М‡ П‡ОЫ˛ ‚ВОЛ˜ЛМЫ ‚‰УО¸ УТЛ éY, ФУОЫ- ˜ЛП Т ФУПУ˘¸˛ (4) МУ‚УВ М‡Ф ‡‚ОВМЛВ Н‡Т‡ЪВО¸МУИ Л, ФВ ВПВ˘‡flТ¸ ‚‰УО¸ ˝ЪУ„У М‡Ф ‡‚ОВМЛfl УФflЪ¸ М‡ П‡ОЫ˛ ‚ВОЛ˜ЛМЫ , М‡И‰ВП МУ‚Ы˛ ЪУ˜НЫ ˆЛНОУЛ‰˚, ‚ НУЪУ УИ Ъ‡НЛП КВ ТФУТУ·УП ТПУКВП УФ В‰ВОЛЪ¸ ТОВ‰Ы˛˘ВВ ФУОУКВМЛВ Н‡Т‡ЪВО¸МУИ Л Ъ.‰.

аЪ‡Н, П˚ Ф Л‚ВОЛ УЪ‚ВЪ, МВ ФУН‡Б‡‚, Н‡Н УМ ·˚О ФУОЫ˜ВМ. зВ ·Ы‰ВП ‚ ЪУ˜МУТЪЛ ФУ‚ЪУ flЪ¸ ‰УН‡Б‡- ЪВО¸ТЪ‚У ЕВ МЫООЛ, МУ ЛТФУО¸БЫВП В„У УТМУ‚МЫ˛ Л‰В˛. йМ ЛТıУ‰ЛО ЛБ Ф ЛМˆЛФ‡ оВ П‡. ЗВ‰¸ ПЛМЛПЫП ‚ ВПВМЛ Ф УıУК‰ВМЛfl Т‚ВЪ‡, Н‡Н П˚ ‚Л‰ВОЛ ‚ Ф В‰˚‰Ы˘ВП ‡Б‰ВОВ, ˆВОЛНУП УФ В‰ВОflВЪТfl ‚˚- ФУОМВМЛВП Б‡НУМ‡ Ф ВОУПОВМЛfl, Т‚flБ˚‚‡˛˘В„У ТЛМЫТ˚ Ы„ОУ‚ Ф‡‰ВМЛfl Л УЪ ‡КВМЛfl ТУ ТНУ УТЪflПЛ Т‚В- Ъ‡ ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Лı Т В‰‡ı. к‡ТТПУЪ ЛП ТОУЛТЪЫ˛ ФОУТНЫ˛ Т В‰Ы, „‰В ‚ Н‡К‰УП ТОУВ Т‚ВЪ ЛПВВЪ Т‚У˛ ТНУ УТЪ¸. б‡НУМ Ф ВОУПОВМЛfl ‚ ˝ЪУП ТОЫ˜‡В ПУКВЪ

„‰Â αi – Û„ÓÎ Ô‡‰ÂÌËfl ̇ „ ‡ÌˈÛ, ‡Á‰ÂÎfl˛˘Û˛ i-È Ë (i + 1)-È ÒÎÓË, ci – ÒÍÓ ÓÒÚ¸ Ò‚ÂÚ‡ ‚ i-Ï ÒÎÓÂ, a – МВНУЪУ ‡fl НУМТЪ‡МЪ‡, У‰ЛМ‡НУ‚‡fl ‰Оfl ‚ТВı ТОУВ‚.

й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ Ф ЛМˆЛФ ПЛМЛПЫП‡ ‚ ВПВМЛ ‰‚Л- КВМЛfl ·Ы‰ВЪ ТФ ‡‚В‰ОЛ‚ Л ‰Оfl П‡ЪВ Л‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ, ВТОЛ ‰Оfl МВВ ‚˚ФУОМflВЪТfl ‡М‡ОУ„Л˜МУВ ТУУЪМУ¯ВМЛВ ПВК‰Ы ‚ВОЛ˜ЛМУИ ТНУ УТЪЛ ‚ ‰‡ММУИ ЪУ˜НВ Ъ ‡ВНЪУ-ЛЛ Л ТЛМЫТУП Ы„О‡ ПВК‰Ы М‡Ф ‡‚ОВМЛВП ТНУ УТЪЛ Л М‡Ф ‡‚ОВМЛВП, ФВ ФВМ‰ЛНЫОfl М˚П Н ФОУТНУТЪЛ ТОУfl, ‚ НУЪУ УП ‡·ТУО˛ЪМУВ БМ‡˜ВМЛВ ТНУ УТЪЛ У‰ЛМ‡НУ‚У. (лОУ‚‡ ЕВ МЫООЛ: “уЪУ ПВ¯‡ВЪ М‡П ‚ ˝ЪУП ТОЫ˜‡В ФУТЪ‡‚ЛЪ¸ У‰МУ М‡ ПВТЪУ ‰ Ы„У„У?”)

лНУ УТЪ¸ ЪВО‡ Ф Л В„У ‰‚ЛКВМЛЛ ‚ У‰МУ У‰МУП ФУОВ ЪflКВТЪЛ, НУ„‰‡ УМУ ‰‚ЛКВЪТfl ·ВБ Ъ ВМЛfl ФУ МВНУЪУ УИ ФУ‚В ıМУТЪЛ (М‡Ф ЛПВ , ФУ М‡НОУММУИ ФОУТНУТЪЛ), Б‡‚ЛТЛЪ ЪУО¸НУ УЪ ‚˚ТУЪ˚ Ф‡‰ВМЛfl:

υ = 2gh , „‰Â g – ÛÒÍÓ ÂÌË ҂ӷӉÌÓ„Ó Ô‡‰ÂÌËfl, h – ‚˚ТУЪ‡ Ф‡‰ВМЛfl. н‡НЛП У· ‡БУП, ТОУЛ, ‚ НУЪУ ˚ı ТНУ УТЪЛ П‡ЪВ Л‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ У‰ЛМ‡НУ‚˚, ‡ТФУОУКВМ˚ „У ЛБУМЪ‡О¸МУ, ‡ М‡Ф ‡‚ОВМЛВ, У ЪУ„УМ‡О¸- МУВ Н ФОУТНУТЪЛ ТОУfl, ТУ‚Ф‡‰‡ВЪ Т М‡Ф ‡‚ОВМЛВП ‚В ЪЛН‡ОЛ. лОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, Б‡‰‡˜‡ У · ‡ıЛТЪУı УМВ Т‚У‰ЛЪТfl Н М‡ıУК‰ВМЛ˛ Ъ‡НУИ Н Л‚УИ, ТУВ‰ЛМfl˛- ˘ВИ ‰‚В Б‡‰‡ММ˚В ЪУ˜НЛ, ‰Оfl НУЪУ УИ ТЛМЫТ Ы„О‡

ПВК‰Ы Н‡Т‡ЪВО¸МУИ Н Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ Л ‚В ЪЛН‡О¸˛ Ы‰У‚ОВЪ‚У flО ·˚ ТУУЪМУ¯ВМЛ˛ (5)

„‰Â b – ФУН‡ Ф УЛБ‚УО¸М‡fl НУМТЪ‡МЪ‡. л ‡‚МЛ‚‡fl (6) Т (4), П˚ ‚Л‰ЛП, ˜ЪУ Ы ‡‚МВМЛВ ТУ‚Ф‡‰‡ВЪ Т Ы ‡‚МВМЛВП ˆЛНОУЛ‰˚, Ф Л˜ВП НУМТЪ‡МЪ‡ b ЛПВВЪ ТП˚ТО ‰Л‡ПВЪ ‡ УН ЫКМУТЪЛ, ‡ h = d − y.

нВФВ ¸ УТЪ‡ВЪТfl ЪУО¸НУ ФУ‰У· ‡Ъ¸ ‡‰ЛЫТ УН-ЫКМУТЪЛ ‰Оfl ЪУ„У, ˜ЪУ·˚ ˆЛНОУЛ‰‡ Ф У¯О‡ ˜В ВБ ‚ЪУ Ы˛ Б‡‰‡ММЫ˛ ЪУ˜НЫ B. ЗТВ ˆЛНОУЛ‰˚ ФУ‰У·М˚ ‰ Ы„ ‰ Ы„Ы. иУ˝ЪУПЫ ЕВ МЫООЛ Ф В‰ОУКЛО ТОВ‰Ы˛- ˘ВВ ФУТЪ УВМЛВ. иУТЪ УЛП Н‡НЫ˛-МЛ·Ы‰¸ ˆЛНОУЛ- ‰Ы, ЛТıУ‰fl˘Ы˛ ЛБ ФВ ‚УИ ЪУ˜НЛ A. èÓÒÚ ÓËÏ Ô fl- ÏÛ˛, Ô ÓıÓ‰fl˘Û˛ ˜Â ÂÁ Ó·Â Á‡‰‡ÌÌ˚ ÚÓ˜ÍË A Ë B. щЪ‡ Ф flП‡fl ФВ ВТВ˜ВЪ ФУТЪ УВММЫ˛ ˆЛНОУЛ‰Ы ‚ МВНУЪУ УИ ЪУ˜НВ é ( ËÒ. 3, ‡). ꇉЛЫТ УН ЫКМУТЪЛ ‰Оfl ЛТНУПУИ ˆЛНОУЛ‰˚ УЪМУТЛЪТfl Н ‡‰ЛЫТЫ ФУТЪ УВММУИ ˆЛНОУЛ‰˚ Н‡Н УЪ ВБУН AB Í ÓÚ ÂÁÍÛ AO. аМЪВ-ВТМУ, ˜ЪУ ‚ МВНУЪУ ˚ı ТОЫ˜‡flı ‰Оfl ·˚ТЪ ВИ¯В„У ‰УТЪЛКВМЛfl НУМВ˜МУИ ЪУ˜НЛ УН‡Б˚‚‡ВЪТfl ‚˚„У‰- М˚П Ф В‰‚‡ ЛЪВО¸МУ УФЫТЪЛЪ¸Тfl МЛКВ У ‰ЛМ‡Ъ˚ ˝ЪУИ ЪУ˜НЛ ( ЛТ. 3, ·).

сЛНОУЛ‰‡ Н‡Н ЩУ П‡ Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ У·О‡‰‡ВЪ В˘В У‰МЛП Б‡ПВ˜‡ЪВО¸М˚П Т‚УИТЪ‚УП, УЪН ˚Ъ˚П Й˛И- „ВМТУП. З ВПfl ‰‚ЛКВМЛfl ЪВО‡ ФУ ˆЛНОУЛ‰В ФУ‰ ‰ВИТЪ‚ЛВП ТУ·ТЪ‚ВММУИ ЪflКВТЪЛ ‰У МЛКМВИ ВВ ЪУ˜НЛ МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ М‡˜‡О¸МУ„У ФУОУКВМЛfl ЪВО‡ Л Ф В‚˚¯‡ВЪ ‚ ВПfl Ф‡‰ВМЛfl Т ‚˚ТУЪ˚ h = d ‚ π/2 ‡Á.

б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ В¯ВМЛВ ‰‡ММУИ Б‡‰‡˜Л а. ЕВ МЫООЛ УТМУ‚‡МУ М‡ НЛМВП‡ЪЛ˜ВТНУИ УФЪЛНУ-ПВı‡МЛ˜В- ТНУИ ‡М‡ОУ„ЛЛ, УЪОЛ˜МУИ УЪ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ‡М‡ОУ- „ЛЛ, НУЪУ ‡fl ‡ТТП‡Ъ Л‚‡О‡Т¸ М‡ПЛ ‚ ТЪ‡Ъ¸В [2]. йМ‡ МУТЛЪ ˜ЛТЪУ НЛМВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ı‡ ‡НЪВ . С‡ОВВ ФВ-ВИ‰ВП Н ‚˚‚У‰Ы ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚ı Ф ЛМˆЛФУ‚ ПВı‡- МЛНЛ, УТМУ‚‡ММ˚ı М‡ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ УФЪЛНУ-ПВı‡- МЛ˜ВТНУИ ‡М‡ОУ„ЛЛ.

‡ y

A

x

O

B

· y

A x

O

B

êËÒ. 3. иУТЪ УВМЛВ ˆЛНОУЛ‰˚, Ф УıУ‰fl˘ВИ ˜В ВБ ‰‚В Ф УЛБ‚УО¸М˚В ЪУ˜НЛ А Ë Ç

‰Оfl ЛТЪЛММУИ Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ, ТУВ‰ЛМfl˛˘ВИ ‰‚В Б‡‰‡ММ˚В ЪУ˜НЛ, Ф ЛМЛП‡ВЪ ПЛМЛП‡О¸МУВ БМ‡˜ВМЛВ ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ ТУ БМ‡˜ВМЛВП ˝ЪУИ ‚ВОЛ˜ЛМ˚, ‚˚˜ЛТОВММУИ ‰Оfl ·ОЛБНУИ ‚Л ЪЫ‡О¸МУИ Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ, Ф УıУ‰fl˘ВИ ˜В ВБ ЪВ КВ ‰‚В ЪУ˜НЛ.

ÇÂ΢ËÌÛ W, ÒÚÓfl˘Û˛ ‚ ΂ÓÈ ˜‡ÒÚË (9), ̇Á˚‚‡- ˛Ú ‚ ÏÂı‡ÌËÍ ‰ÂÈÒÚ‚ËÂÏ, ‡ ТЩУ ПЫОЛ У‚‡ММ˚И ‚˚¯В ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚И Ф ЛМˆЛФ, ‚˚ ‡К‡ВП˚И ˝ЪУИ ЩУ ПЫОУИ, – Ô Ë̈ËÔÓÏ Ì‡ËÏÂ̸¯Â„Ó ‰ÂÈÒÚ‚Ëfl åÓ-

i = 1

ǂ‰ÂÌÌÛ˛ Ú‡ÍËÏ Ó· ‡ÁÓÏ ‚Â΢ËÌÛ S Ú‡ÍÊ ̇- Á˚‚‡˛Ú ‰ÂÈÒÚ‚ËÂÏ, ‡ ˜ÚÓ·˚ Ì ·˚ÎÓ ÔÛÚ‡Ìˈ˚, ‚Â- ΢ËÌÛ W – ЫНУ У˜ВММ˚П ‰ВИТЪ‚ЛВП. е˚ ‚Л‰ЛП, ˜ЪУ ‰Оfl ЛТЪЛММУ„У ‰‚ЛКВМЛfl ‰ВИТЪ‚ЛВ S ЛПВВЪ ПЛМЛП‡О¸МУВ БМ‡˜ВМЛВ ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т В„У БМ‡˜ВМЛflПЛ М‡ ‚Л ЪЫ‡О¸М˚ı Ъ ‡ВНЪУ Лflı, ЪУ˜НЛ НУЪУ ˚ı ‚ М‡˜‡О¸М˚И Л НУМВ˜М˚И ПУПВМЪ˚ ‚ ВПВМЛ ТУ‚Ф‡‰‡- ˛Ъ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ Т М‡˜‡О¸М˚П Л НУМВ˜М˚П ФУОУКВМЛflПЛ П‡ЪВ Л‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ.

пУЪfl ˝ЪУ ЫЪ‚В К‰ВМЛВ ТОВ‰ЫВЪ ЛБ Ф ЛМˆЛФ‡ М‡Л- ПВМ¸¯В„У ‰ВИТЪ‚Лfl еУФВ Ъ˛Л, УН‡Б‡ОУТ¸, ˜ЪУ УМУ ЛПВВЪ ·УО¸¯Ы˛ У·О‡ТЪ¸ Ф ЛПВМЛПУТЪЛ Л ‚˚ФУОМflВЪТfl Ъ‡НКВ ‰Оfl ТОЫ˜‡fl, НУ„‰‡ ФУЪВМˆЛ‡О¸М‡fl ˝МВ „Лfl Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ‚ ВПВМЛ. и Л˜ВП Ф Л ‚˚·У В ‚Л ЪЫ‡О¸- М˚ı НУУ ‰ЛМ‡Ъ П‡ЪВ Л‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ ПУКМУ МВ Б‡·У- ЪЛЪ¸Тfl У ТУı ‡МВМЛЛ ˝МВ „ЛЛ. З ЪВı ТОЫ˜‡flı, НУ„‰‡ ФУЪВМˆЛ‡О¸М‡fl ˝МВ „Лfl МВ Б‡‚ЛТЛЪ fl‚МУ УЪ ‚ ВПВМЛ, ‰Оfl ЛТЪЛММУ„У ‰‚ЛКВМЛfl ФУОМ‡fl ˝МВ „Лfl ·Ы‰ВЪ ТУ- ı ‡МflЪ¸Тfl ‡‚ЪУП‡ЪЛ˜ВТНЛ. й· ‡ЪЛП ‚МЛП‡МЛВ Ъ‡НКВ М‡ ЪУ, ˜ЪУ ‚ ‚‡ Л‡ˆЛУММУП Ф ЛМˆЛФВ Й‡ПЛО¸ЪУМ‡ ПУКМУ ‚‡ ¸Л У‚‡Ъ¸ (ЪУ ВТЪ¸ ЛБПВМflЪ¸ ‰Оfl Т ‡‚МВМЛfl ‚ВОЛ˜ЛМ˚ ‰ВИТЪ‚Лfl S) МВ ЪУО¸НУ ЩУ ПЫ Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ (Н‡Н ‚ Ф ЛМˆЛФВ еУФВ Ъ˛Л), МУ Л ı‡ ‡НЪВ ‰‚ЛКВМЛfl ФУ МВИ Т ЪВ˜ВМЛВП ‚ ВПВМЛ. и Л ˝ЪУП ‰УОКМУ ЪУО¸НУ ‚˚ФУОМflЪ¸Тfl ЫТОУ‚ЛВ: ФУОМУВ ‚ ВПfl ‰‚ЛКВМЛfl ЩЛНТЛ У‚‡МУ.

аЪ‡Н, Ф ЛМˆЛФ М‡ЛПВМ¸¯В„У ‰ВИТЪ‚Лfl Й‡ПЛО¸- ЪУМ‡ ПУКМУ ТЩУ ПЫОЛ У‚‡Ъ¸ ТОВ‰Ы˛˘ЛП У· ‡БУП.

СВИТЪ‚ЛВ S ‰Оfl ЛТЪЛММУ„У ‰‚ЛКВМЛfl П‡ЪВ Л‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ, Ъ ‡ВНЪУ Лfl НУЪУ У„У ‚ М‡˜‡О¸М˚И Л НУМВ˜М˚И ПУПВМЪ˚ ‚ ВПВМЛ Ф УıУ‰ЛЪ ˜В ВБ ‰‚В УФ В‰ВОВММ˚В ЪУ˜НЛ, Ф ЛМЛП‡ВЪ ПЛМЛП‡О¸МУВ БМ‡˜ВМЛВ ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т О˛·˚ПЛ ‚Л ЪЫ‡О¸М˚ПЛ ‰‚ЛКВМЛflПЛ, Ъ ‡ВНЪУ-ЛЛ НУЪУ ˚ı ‚ ЫН‡Б‡ММ˚В ПУПВМЪ˚ ‚ ВПВМЛ Ф УıУ‰flЪ ˜В ВБ ЪВ КВ ‰‚В ЪУ˜НЛ.

аБ-Б‡ МВ‰УТЪ‡ЪН‡ ПВТЪ‡ П˚ МВ Ф Л‚У‰ЛП Б‰ВТ¸ НУМН ВЪМ˚ı Ф ЛПВ У‚, ФУ‰Ъ‚В К‰‡˛˘Лı ТФ ‡‚В‰- ОЛ‚УТЪ¸ Ф ЛМˆЛФУ‚ еУФВ Ъ˛Л Л Й‡ПЛО¸ЪУМ‡. м˜В- МЛНЫ ПУКМУ ВНУПВМ‰У‚‡Ъ¸ Т‡ПУТЪУflЪВО¸МУ Ы·В- ‰ЛЪ¸Тfl ‚ ˝ЪУП М‡ Ф ЛПВ В Т‚У·У‰МУ„У Ф‡‰ВМЛfl ЪВО‡ ‚ У‰МУ У‰МУП ФУОВ ЪflКВТЪЛ. щЪУ ПУКМУ Т‰ВО‡Ъ¸ ‡М‡- ОЛЪЛ˜ВТНЛ, ВТОЛ Ы˜ВМЛН БМ‡НУП Т ЛМЪВ„ Л У‚‡МЛВП ˝ОВПВМЪ‡ М˚ı ЩЫМНˆЛИ, ЛОЛ Т ФУПУ˘¸˛ НУПФ¸˛ЪВ-‡, НУЪУ ˚И ТЪ‡МУ‚ЛЪТfl ‚ТВ ·УОВВ ‰УТЪЫФМ˚П ‰Оfl ¯НУО¸МУ„У У·Ы˜ВМЛfl.

бДдгыуЦзаЦ

д ‡ЪНУ УТЪ‡МУ‚ЛПТfl М‡ УОЛ, НУЪУ Ы˛ Т˚„ ‡ОЛ ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚В Ф ЛМˆЛФ˚ ‚ ‡Б‚ЛЪЛЛ ЩЛБЛНЛ.

иУТОВ ЩУ ПЫОЛ У‚НЛ ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚ı Ф ЛМˆЛФУ‚ ‚ ЩУ ПВ еУФВ Ъ˛Л Л Й‡ПЛО¸ЪУМ‡ ·˚ОЛ Ф В‰ОУКВМ˚ Л ‰ Ы„ЛВ ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚В Ф ЛМˆЛФ˚ ПВı‡МЛНЛ. аı У·˘ВВ БМ‡˜ВМЛВ Б‡НО˛˜‡ОУТ¸ ‚ ЪУП, ˜ЪУ Т Лı ФУПУ˘¸˛ Ы‰‡‚‡ОУТ¸ В‰ЛМ˚П ПВЪУ‰УП ФУОЫ˜‡Ъ¸ Ы ‡‚- МВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl ТОУКМ˚ı ПВı‡МЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП. (З УТМУ‚МУИ ˜‡ТЪЛ ТЪ‡Ъ¸Л П˚ МВ Б‡Ъ ‡„Л‚‡ОЛ ˝ЪУ„У ‚‡КМУ„У ˝Ъ‡Ф‡ Ф ЛПВМВМЛfl ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚ı Ф ЛМˆЛФУ‚, ФУТНУО¸НЫ ˝ЪУ Ъ В·ЫВЪ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ТОУКМУ„У, Л МВ ЪУО¸НУ ‰Оfl ¯НУО¸МЛНУ‚, П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУ„У ‡ФФ‡-

‡Ъ‡.) З ‰‡О¸МВИ¯ВП ·˚ОУ ФУН‡Б‡МУ, ˜ЪУ ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚В Ф ЛМˆЛФ˚ ‚УБПУКМ˚ Л ‚ ‰ Ы„Лı ‡Б‰ВО‡ı ЩЛБЛНЛ, М‡Ф ЛПВ ‚ ˝ОВНЪ У‰ЛМ‡ПЛНВ Л ТФВˆЛ‡О¸МУИ ЪВУ ЛЛ УЪМУТЛЪВО¸МУТЪЛ.

З‡ Л‡ˆЛУММ˚В Ф ЛМˆЛФ˚, ‚УБМЛН¯ЛВ ЛБ НУМ- Н ВЪМ˚ı ЩЛБЛ˜ВТНЛı Б‡‰‡˜, У·У„‡ЪЛОЛ Л Т‡ПЫ П‡- ЪВП‡ЪЛНЫ. й‰МУИ ЛБ У·˘Лı ‚‡ Л‡ˆЛУММ˚ı Б‡‰‡˜, ФУfl‚Л‚¯ВИТfl ФУ˜ЪЛ У‰МУ‚ ВПВММУ Т Б‡‰‡˜ВИ У · ‡ıЛТЪУı УМВ, ·˚О‡ Б‡‰‡˜‡ У „ВУ‰ВБЛ˜ВТНУИ ОЛМЛЛ: Ъ В·ЫВЪТfl М‡ИЪЛ ОЛМЛ˛ М‡ЛПВМ¸¯ВИ ‰ОЛМ˚, ТУВ‰Л- Мfl˛˘Ы˛ ‰‚В Б‡‰‡ММ˚В ЪУ˜НЛ М‡ МВНУЪУ УИ ФУ‚В ı- МУТЪЛ. иУБКВ ˝Ъ‡ Б‡‰‡˜‡ ·˚О‡ У·У·˘ВМ‡ М‡ ТОЫ˜‡И ПМУ„УПВ М˚ı Ф УТЪ ‡МТЪ‚ Т МВВ‚НОЛ‰У‚УИ „ВУПВЪ-ЛВИ Л ‚В МЫО‡Т¸ ‚ ЩЛБЛНЫ ‚ У·˘ВИ ЪВУ ЛЛ УЪМУТЛЪВО¸МУТЪЛ, „‰В УО¸ „ВУ‰ВБЛ˜ВТНЛı ‚ ˜ВЪ˚ ВıПВ МУП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В–‚ ВПВМЛ Л„ ‡˛Ъ Ы ‡‚МВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl П‡ЪВ Л‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ. З ˜‡ТЪМУТЪЛ, „ВУ‰ВБЛ˜ВТНУИ Т МЫОВ‚УИ “‰ОЛМУИ” fl‚ОflВЪТfl Ы ‡‚МВМЛВ ‰‚ЛКВМЛfl ˜‡ТЪЛˆ˚ ТУ ТНУ УТЪ¸˛ Т‚ВЪ‡. н‡Н ФУfl‚ЛОТfl У˜ВМ¸ ‚‡КМ˚И ‡ТФВНЪ, Т‚flБ˚‚‡˛˘ЛИ ЩЛБЛНЫ Л „ВУПВЪ Л˛ Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡, НУЪУ ‡fl УН‡Б‡О‡Т¸ Б‡‚ЛТfl˘ВИ УЪ В‡О¸МУ„У ‡ТФ В‰ВОВМЛfl П‡ТТ.

З‡ Л‡ˆЛУММ˚В Ф ЛМˆЛФ˚ Л ЩЛБЛ˜ВТН‡fl Л‰Вfl У· УФЪЛНУ-ПВı‡МЛ˜ВТНУИ ‡М‡ОУ„ЛЛ ЛПВОЛ УФ В‰ВОfl˛- ˘ВВ БМ‡˜ВМЛВ ‰Оfl УК‰ВМЛfl ‚УОМУ‚УИ Л Н‚‡МЪУ‚УИ ПВı‡МЛНЛ. З ˝ЪУП ПУКМУ ОВ„НУ Ы·В‰ЛЪ¸Тfl, ВТОЛ Б‡- „ОflМЫЪ¸ ‚ У Л„ЛМ‡О¸М˚В ‡·УЪ˚ гЫЛ ‰В Е УИОfl Л щ. т fi‰ЛМ„В ‡ (ТП. ФВ В‚У‰˚ ˝ЪЛı ‡·УЪ ‚ НМЛ„В [3]). З‡ Л‡ˆЛУММ˚В Ф ЛМˆЛФ˚ Ф ЛПВМfl˛ЪТfl Л ‚ Н‚‡МЪУ‚УИ ЪВУ ЛЛ ФУОfl, fl‚Оfl˛˘ВИТfl ·‡БУИ ‰Оfl ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl ˝ОВПВМЪ‡ М˚ı ˜‡ТЪЛˆ.

З˚ ‚Л‰ЛЪВ, ˜ЪУ УК‰ВММ˚В ЫТЛОЛflПЛ „ВМЛВ‚ ‚‡-Л‡ˆЛУММ˚В Ф ЛМˆЛФ˚ ПВı‡МЛНЛ Л УФЪЛНЛ УН‡Б‡ОЛ У„ УПМУВ ‚ОЛflМЛВ М‡ ФУТОВ‰Ы˛˘ВВ ‡Б‚ЛЪЛВ ‚ТВИ ЩЛБЛНЛ, – ‚ОЛflМЛВ, Ф УТЪЛ ‡˛˘ВВТfl ‰У М‡¯Лı ‰МВИ Л ‰‡ОВНУ МВ ЛТ˜В Ф‡ММУВ.

ганЦкДнмкД

1.縲ÚÓÌ à. е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ М‡˜‡О‡ М‡ЪЫ ‡О¸МУИ ЩЛОУТУЩЛЛ. е.: з‡ЫН‡, 1989. 688 Т.

2.н ЛЩУМУ‚ Ц.С. йФЪЛНУ-ПВı‡МЛ˜ВТН‡fl ‡М‡ОУ„Лfl ‚ ЛБОУКВМЛЛ ‰Оfl ¯НУО¸МЛНУ‚ // лУ УТУ‚ТНЛИ й· ‡БУ‚‡- ЪВО¸М˚И ЬЫ М‡О. 1997. ‹ 10. л. 133–137.

3.LJ ˇˆËÓÌÌ˚Â Ô Ë̈ËÔ˚ ÏÂı‡ÌËÍË: ë·. ÒÚ. / èӉ‰. ã.ë. èÓ·͇. å.: ÉÓÒ. ËÁ‰-‚Ó ÙËÁ.-χÚ. ÎËÚ., 1959.

932Ò.

4.É˛È„ÂÌÒ ï. í ‡ÍÚ‡Ú Ó Ò‚ÂÚÂ. å.; ã., 1935.

5.äÛ‰ fl‚ˆÂ‚ è.ë. аТЪУ Лfl ЩЛБЛНЛ. е.: м˜ФВ‰„ЛБ, 1948. н. 1. 535 Т.

6.ëË‚ÛıËÌ Ñ.Ç. й·˘ЛИ НЫ Т ЩЛБЛНЛ: йФЪЛН‡. е.: з‡Ы- Н‡, 1980. 751 Т.

7.èÓÎ‡Í ã.ë. ìËθflÏ É‡ÏËθÚÓÌ. å.: ç‡Û͇, 1993. 270 Ò.

* * *

Ц‚„ВМЛИ СПЛЪ ЛВ‚Л˜ н ЛЩУМУ‚, ‰УНЪУ ЩЛБЛНУ- П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛı М‡ЫН, Ф УЩВТТУ кУТТЛИТНУ„У „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММУ„У ФВ‰‡„У„Л˜ВТНУ„У ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ‡ ЛП. А.а. ЙВ ˆВМ‡. й·О‡ТЪ¸ М‡Ы˜М˚ı ЛМЪВ ВТУ‚: ЪВУ-Лfl Ъ‚В ‰У„У ЪВО‡, Н‚‡МЪУ‚‡fl МВОЛМВИМ‡fl УФЪЛН‡. А‚ЪУ ·УОВВ 100 ‡·УЪ Л ‰‚Ыı ПУМУ„ ‡ЩЛИ.