Если значение функции цели уменьшается, то переходим к новому опорному решению (см. П.6), если - нет, то переходим ко второму этапу решения задачи.

Переходим ко второму этапу решения задачи – отыскание опорного решения задачи, считая, что функция цели не уменьшается, а увеличивается, например, при новых значения переменных параметров x^(k+1)₁, x^(k+1)₂,…, x^(k+1)_n.

В этом случае оптимальным решением будет последнее опорное решение, например, k - тое.

- F^(k) (x^(k)₁, x^(k)₂,…, x^(k)_n) < - F^(k-1) (x^(k-1)₁, x^(k-1)₂,…, x^(k-1)_n) → min (79)

Для закрепления теории решения линейных задач оптимального проектирования симплекс – методом рассмотрим пример.

Задача №4. Определить максимальную прибыль завода от выпуска стальных цилиндрических резервуаров объемом 400 м³ и 1000 м³.

Первый этап задачи – составление математического описания задачи.

1 шаг - определение границ конструкции, элемента.

Технические характеристики РВС

Тип РВС	Масса, т	Расход сварочного материала, т	Трудоемкость чел/час	Стоимость, тыс. руб
РВС-400	16	0,2	75	3
РВС-1000	25	0,15	80	4,5

2 шаг – выбор критерия оптимальности. За критерий оптимальности принимаем стоимость продукции завода – стоимость резервуаров.

3 шаг – определение общего числа независимых параметров, влияющих на величину критерия оптимальности.

Количество резервуаров РВС-400 - х₁ (шт)

Количество резервуаров РВС-1000 - х₂ (шт)

4 шаг – составление целевой функции.

F = 3* х₁ + 4,5* х₂ => max (80)

5 шаг – составление уравнений ограничения.

Если принять ресурс завода: 3200 т листовой стали, 30 т сварочного материала, 12025 ч/час рабочего времени, то ограничения запишутся в следующем виде:

по расходу стали 16 х₁ + 25 х₂ ≤ 3200,

по расходу сварочного материала 0,2 х₁+0,15 х₂ ≤ 30,

по трудоемкости 75 х₁ + 80 х₂ ≤ 12025. (81)

При этом по смыслу задачи х₁ и х₂ неотрицательны х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0. (82) Второй этап задачи – решение математической задачи.

7 шаг – анализ уравнения функции цели и ограничений - неравенств.

Целевая функция F является линейной функцией независимых переменных х₁ и х₂ (80). Кроме того условия, определяющие допустимые значения этих переменных, имеют вид линейных неравенств (49). Независимые переменные положительны (50). Поэтому данная задача является задачей линейного программирования.

8 шаг - выбор метода решения задачи.

Решение математической задачи линейного программирования будем решать симплекс – методом.

Решение задачи проводим с учетом приведенных выше рекомендаций.

Неравенства (81) преобразуем в равенства введением дополнительных переменных y₁, y₂, y₃, которые представляют собой неиспользуемые заводом средства

16 х₁ + 25 х₂ + y₁ = 3200,

0,2 х₁+0,15 х₂ + y₂ = 30,

75 х₁ + 80 х₂ + y₃ = 12025. (83)

Неотрицательность введенных переменных параметров можно установить из уравнений (83) при х₁ = 0, х₂ = 0

у₁ ≥ 0, у₂ ≥ 0, у₃ ≥ 0. (84)

В результате, ценой увеличения числа переменных, мы пришли к канонической задаче со стандартными условиями в виде уравнений (83), в которых

а₁₁=16; a₁₂=25, a₁₃=1, b₁=3200,

a₂₁=0,2, a₂₂=0,15 a₂₃=1, b₂ = 30,

a₃₁=75; a₃₂=80; a₃₃=1, b₃=12025.

Отметим, что дополнительные переменные y₁, y₂, y₃ вошли в условие задачи, но не вошли в выражение для целевой функции (80). Она не изменила своего вида и осталась функцией двух переменных х₁ и х₂ (с₁ = 3, с₂ = 4,5).

Для дальнейших выкладок примем целевую функцию со знаком минус, чтобы искать ее минимальное, а не максимальное значение

- F(x₁, x₂) = - (3 x₁ + 4,5 x₂)

(85)