Симплекс – метод

Симплекс-метод включает в себя два этапа:

1 этап - отыскание опорного решения задачи;

2 этап - переход от опорного решения к оптимальному.

Порядок решения задач линейного программирования симплекс – методом

Обычно в реальных задачах ограничения представлены в виде неравенств

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n ≤ b₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nх_n ≤ b₂,

…………………………………

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + а_mnх_n ≤ b_m,

Поэтому для возможности использования симплекс – метода необходимо ограничения - неравенства (63) превратить в равенства, представить их в каноническом виде (43). Для этого вводятся дополнительные переменные параметры у₁ , у₂ ,…, у_m , количество которых определяется количеством ограничений:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n + у₁ = b₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nх_n + у₂ = b₂,

…………………………………… … …

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + а_mnх_n + у_m = b_m, (64)

При этом дополнительные переменные параметры у₁ , у₂ ,…, у_m

в уравнение функции цели не вводятся.

F(x₁, x₂,…, x_n) = c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_nx_n (65)

Итак, с учетом вышесказанного, функция цели имеет линейный вид с разделенными переменными (65), а ограничения представлена системой канонических переменных (64), в которых неизвестные параметры положительны

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, … , х_n ≥ 0, у₁ ≥ 0, у₂ ≥ 0,…, у_m ≥ 0. (66)

Переходим к первому этапу решения задачи – отыскание опорного решения задачи.

1. Для удобства выполнения дальнейших вычислений в функции цели изменим знак на обратный следующим образом:

- F(x₁, x₂,…, x_n) = -[c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_nx_n] (67)

В этом случае будем искать не максимум, а минимум функции цели.

2. Назначаем первое опорное решение. Обычно первое опорное решение назначается из условия, что переменные параметры равны нулю, то есть

х⁽¹⁾₁ = 0, х⁽¹⁾₂ = 0, … , х⁽¹⁾_n = 0 (68)

Переменные параметры, равные нулю, называются свободными.

3. Определяем значения дополнительных переменных у⁽¹⁾₁ , у⁽¹⁾₂ ,…, у⁽¹⁾_m, подставляя в канонические уравнения (64) значения свободных переменных (68). Получаем:

у⁽¹⁾₁ = b₁, у⁽¹⁾₂ = b₂, ,…, у⁽¹⁾_m = b_m, (69)

Эти переменные положительны, что соответствует условию задачи (66).

Переменные параметры, неравные нулю, называются базисными.

4. Определяем значение функции цели, подставляя значение переменных параметров (68) в уравнение (67)

- F⁽¹⁾ (x⁽¹⁾₁, x⁽¹⁾₂,…, x⁽¹⁾_n) = -[c₁ * x⁽¹⁾₁ + c₂ * x⁽¹⁾₂ +…+ c_n * x⁽¹⁾_n] =

= -[c₁ *0 + c₂ *0 +…+ c_n *0] = 0 (70)

5. Проводим исследование полученного выражения функции цели (70) уменьшится ли (увеличится ли по абсолютной величине) значение функции, если переменные параметры x⁽¹⁾₁, x⁽¹⁾₂,…, x⁽¹⁾_n будут иметь любое другое положительное значение, отличное от полученных в данном опорном решении (68).

Если значение функции цели уменьшается, то переходим к новому опорному решению, если - нет, то переходим ко второму этапу решения задачи.

6. Переходим ко второму опорному решению, предполагая, что значение функции цели уменьшается при изменении значений переменных параметров.

6.1. Составляем симплекс – таблицу.

В симплекс – таблицу вводятся коэффициенты при свободных переменных из канонических уравнений (64) и значения базисных переменных (69) предыдущего опорного решения. В нижней строке вводятся коэффициенты при неизвестных из уравнения функции цели (62).