3°. Выражение скалярного произведения через компоненты сомножителей. Матрица Грама.

Пусть в произвольном евклидовом пространстве задан базис . Это позволяет представить в виде

. Вычислим скалярное произведение :

.

Отсюда следует, что если базис − ортонормированный, то есть

, то

.

Теорема 5. В ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Если же базис { } − произвольный, то произведения обозначим и введем в рассмотрение квадратную матрицу

= = ,

называемую матрицей Грамма базиса { }. В силу коммутативности скалярного произведения , т.е. матрица Грама симметрическая.

Обозначим = , . Тогда скалярное произведение можно переписать в матричном виде:

.

Если { } − ортонормированный, то и .

Рассмотрим два базиса { } и { }, связанные при помощи матрицы перехода : если и , т.е. . Тогда для базиса { } матрица Грама имеет вид:

.(5)

Эта формула даёт связь между матрицами Грама для двух связанных между собой базисов. Равенство (5) в матричном виде имеет вид:

что легко проверить прямыми вычислениями.

Рассмотрим последнюю формулу в частном случае, когда { } – ортонормированный. Тогда и формула (6) имеет вид:

Г =

вычисляя определитель в силу теоремы об определителе произведения матриц, имеем:

detГ = det( ) det = (det ) .

Так как { } – произвольный базис // т.к. det 0 //

Теорема 6. Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.

Эта теорема может быть усилена:

Теорема 7. Пусть ,…, − произвольные (не обязательно линейно независимые) вектора в евклидовом пространстве. Тогда определитель матрицы

,

составленной из попарных скалярных произведений, положителен, если вектора линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.

Доказательство: Первое утверждение теоремы следует из теоремы 6, т.к. если ,…, − линейно независимы, то они образуют базис в своей линейной оболочке.

Докажем второе утверждение. Если векторы – линейно зависимы, то выполнено равенство , где хотя бы одно . Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов получим систему уравнений

,

которой удовлетворяет ненулевое решение определитель матрицы этой системы равен нулю.■

Замечание. Доказанная теорема обобщает неравенство Коши–Буняковского, которое имеет место при .

Ортогональное дополнение к линейному подпространству.

Определение 9. Два множества и векторов евклидова пространства называются ортогональными, если каждый вектор первого множества ортогонален к каждому вектору второго.

В частности, будем говорить, что вектор ортогонален к множеству , если ортогонален каждому .

Ортогональность и обозначается .

Лемма 3. Если два множества и ортогональны, то их пересечение либо пусто, либо состоит только из нулевого вектора.

Доказательство: На самом деле, если и . ■

Следствие. Сумма ортогональных подпространств всегда является прямой суммой.

Доказательство:Это следует из того, что их пересечение в силу леммы 3 состоит только из нулевого вектора сумма прямая. ■

Пусть – подпространство евклидового пространства.

Определение 10. Ортогональным дополнением подпространства E называется множество всех векторов, перпендикулярных каждому вектору из .

Ортогональное дополнение к обозначается .

Очевидно, что – линейное подпространство; на самом деле, если , а , то ( u+ v,w) = (u,w)+ (v,w) = О u + v U ,что и требовалось доказать.

Теорема 8. Евклидово пространство есть прямая сумма любого своего подпространства U и его ортогонального дополнения U .

Доказательство: Пусть dimU=k и пусть e ,…, e − ортонормированный базис в U. В силу теоремы 7 из параграфа 11 (Часть 1) эти вектора можно дополнить до базиса во всём пространстве . Применяя к ним процесс ортогонализации Грама-Шмидта, получим ортонормированный базис e ,…, e евклидова пространства .

Любой элемент х Е может быть разложен по этому базису:

x = x e +…+ x e + x e +… +x e ,

т.е. х=x +x , где x = x e +…+ x e U, а x = x e +… +x e U ,

в силу ортонормированности базиса. Следовательно, в силу следствия к лемме 3, сумма U и U – прямая сумма. ■

Следствие 1. (U ) = U.

Следствие 2. может быть единственным образом представлен в виде х= x +x , где x U, x U . При этом x называется ортогональной проекцией вектора на подпространство U, а x − ортогональной составляющей относительно U.

Задача. В Е подпространство U натянуто на векторы =(1,0,1,1), и =(0,1,1,–1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора =(1,2,0,1) на подпространство U.

Решение. 1 способ. Вектора и − ортогональны. Нормируя их, получаем:

= (1;0;1;1); = (0;1;1;–1). Если = x +x + x +x , то

x = ( , ) = ; x = ( , ) = Если x = x +x

x = x +x = ( ; ;1; ). ; ;–1; ).

2 способ. Применим процесс ортогонализации к базису в : .

Выберем = (0;0;1;0), = (0;0;0;1) ортогонализация даёт:

= – ( ,e )e – ( ,e ) e = (– ;– ; ;0)

= (– ;– ; ;0). Аналогично, = (– ; ;0; ).

Решим систему:

x = , x = , x =- , x = x =x +x ; x =x +x .