Фазовая манипуляция сигналов

1. Цель работы.

Изучить принципы реализации фазовых модулированных и манипулированных сигналов. Определить параметры, характеризующие фазовую модуляцию и манипуляцию.

2. Теоретические сведения.

2.1. Принцип фазовой модуляции (фм).

При фазовой модуляции значение фазового угла постоянной несущей частоты колебаний _o пропорционально амплитуде модулирующего сигнала s(t). Соответственно, уравнение ФМ – сигнала определяется выражением:

u(t) = U_m cos[_ot + ks(t)], (1)

где k – коэффициент пропорциональности.

Рис. 2.

Пример однотонального ФМ сигнала приведен на рис. 2. При s(t) = 0, ФМ сигнал является простым гармоническим колебани-ем и показан на рисунке функцией u_o(t). С увеличением значений s(t) полная фаза колебаний (t) = _ot + ks(t) нарастает во времени быстрее и опережает линейное нарастание _ot.

Соответственно, при уменьшении значений s(t) скорость роста полной фазы во времени спадает. В моменты экстремальных значений s(t) абсолютное значение фазового сдвига  между ФМ сигналом и значением _ot немодулированного колебания также является максимальным и носит название девиации фазы (вверх _в = ks_max(t), или вниз _н = ks_min(t) с учетом знака экстремальных значений модулирующего сигнала).

Для колебаний с угловой модуляцией применяется также понятие мгновенной частоты, под которой понимают производную от полной фазы по времени:

ω(t) = (t)/dt = ω_o + k ds(t)/dt. (2)

Полная фаза колебаний в произвольный момент времени может быть определена интегрированием мгновенной частоты:

(t) = ω(t) dt, или (t) = ω(t) dt +_o. (3)

2.2. Однотональная фазовая модуляция.

При ФМ осуществляется сдвиг фазы носителя (процесса) на величину (t) от средней фазы ₀. Если информация передается элементарной косинусоидальной функцией, то и фаза носителя меняется по гармоническому закону:

(t) = _mcos (t + Ф), (4)

где: _m, , Ф – амплитуда, угловая частота и начальная фаза информационного сигнала.

Полная фаза сигнала будет определяться следующим выражением:

(t) = _0 + _mcos (t + Ф). (5)

Учитывая полученные формулы представим ФМ сигнал в следующем виде:

U_x(t) = U₀ cos [₀t + _m cos (t + Ф) +₀ ]. (6)

В случае ФМ можно также воспользоваться индексом модуляции (m), учитывая, что изменение частоты в пределах _m равносильно изменению фазы в пределах угла _m = _m /Таким образом индекс модуляции при ФМ равен девиации фазы: m = _m, соответственно девиация частоты _m = m = _m. Следовательно общее выражение для ФМ можно представить в следующем виде:

U_x(t) = U₀ cos [₀t + m cos (t + Ф) +₀ ]. (7)

Различия между частотной и фазовой модуляцией проявляются при изменении частоты  модулирующего сигнала.

При фазовой модуляции девиация частоты прямо пропорциональна , а индекс модуляции от частоты модулирующего сигнала не зависит:

m = const, ω_д =m

Математическая модель однотональных ФМ (это касается и сигналов с ЧМ) сигналов с любым значением индекса модуляции m в общем случае получается разложением функции (7) в следующий ряд:

u(t)=U_m J_k(N)cos[(_o+k)t], (8)

где J_k(N) – функция Бесселя k-го индекса от аргумента N=m. Из этого уравнения следует, что спектр сигнала содержит бесконечное число составляющих - нижних и верхних боковых колебаний, с частотами _ok которые соответствуют гармоникам частоты модуляции, и с амплитудами, пропорциональными значениям J_k(N). Амплитуды пяти первых гармоник и несущей частоты при U_m=1 в зависимости от индекса модуляции приведены на рис. 3.

При малой величине индекса модуляции m значимые амплитудные значения имеют только первые гармоники. С ростом величины m количество значимых боковых составляющих увеличивается, а энергия сигнала перераспределяется на боковые составляющие. Функции Бесселя имеют колебательный характер, поэтому спектр при удалении от несущей частоты ω_о спадает немонотонно. На рис. 3 можно также видеть, что при определенных значениях индекса модуляции (2.405, 5.52, 8.654 и т.д.) несущая частота _o в спектре сигнала полностью отсутствует. Форма физических амплитудных спектров модулированных сигналов относительно несущей частоты при разных индексах модуляции приведена на рис. 4.

Рис. 3.

С ростом индекса модуляции полоса частот, занимаемая сигналом, расширяется. Практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией определяется по формуле:

П_практ = 2(m+1), (9)

т.е. спектральными составляющими с номерами k>(m+1) пренебрегают. Формирование реальных сигналов, как правило, выполняется при m>>1, при этом эффективная ширина спектра равна удвоенной девиации частоты:

П_практ  2m_д. (10)

Рис. 4. Модули спектров ФМ сигнала при разных индексах модуляции (несущая частота 2500 Гц, гармоника модуляции 25 Гц, шкала частот в Гц относительно несущей).

Отсюда следует, что по сравнению с АМ – сигналами, полоса частот которых равна 2, для передачи сигналов с угловой модуляцией (как с ФМ, так и с ЧМ) требуется полоса частот, в m раз большая. С другой стороны, именно широкополосность ФМ и ЧМ сигналов обеспечивает их большую помехоустойчивость по сравнению с АМ сигналами.

Для функций Бесселя имеет также место: J_-k(N) = (-1)^kJ_k(N). Это означает, что начальные фазы боковых колебаний с частотами _o+kи _o-k совпадают при четных k, и отличаются на 180^о при нечетных k.