Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1-2_Эл_Выс_Алг.doc
Скачиваний:
36
Добавлен:
22.11.2019
Размер:
2.9 Mб
Скачать

Московский университет имени С. Ю. Витте

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Мелкумян Б. В., Питерцева Г. А.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Курс лекций

для дистанционного обучения

студентов гуманитарных специальностей

МОСКВА 2012

Авторы – составители:

Мелкумян Б. В., Питерцева Г. А.

Высшая математика: Курс лекций. – М.: Московский университет им. С. Ю. Витте, 2012, _516_ стр.

Научный редактор:

Курс лекций предназначен для студентов дистанционной формы обучения гуманитарных специальностей.

Печатается по решению научно-методического совета Московского университета им. С. Ю. Витте.

© Б. В. Мелкумян, Г. А. Питерцева, 2012

© Московский университет им. С. Ю. Витте, 2012

Оглавление

Об авторах-составителях 7

От авторов-составителей 7

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ 7

Что самое трудное в математике? 8

Нужны ли способности? 8

Что такое абстракция? 8

Не затрудняет ли абстракция изучение математики? 8

Цели и ожидаемые результаты курса 9

Связь с другими дисциплинами 9

План изучения курса 10

Понятие комплексного числа 10

График прохождения контрольных мероприятий: 11

ЛИТЕРАТУРА 11

Основной список 11

Дополнительный список 12

1. Алгебра высказываний 12

1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат 12

Определение. 12

Аксиома. Аксиоматический метод. 12

Доказательство. Теорема. 12

Особенность аксиоматического метода. 13

Основные методы доказательств. 13

Упражнения для самостоятельного анализа к Разделу 1: 14

Упражнение 1. 14

Упражнение 2. 14

Упражнение 3. 14

Упражнение 4. 14

Упражнение 5. 15

1.2. Алгебра высказываний. Основные законы математической логики. 15

Что есть высказывание. 15

Простые и составные высказывания. 15

Логические операции 16

Порядок старшинства операций 19

5. Основные законы математической логики. 20

6. Парадоксы логики (семантические парадоксы), или «правдоподобные» рассуждения, приводящие к противоречивым результатам. 20

7. Основная цель математической логики – обеспечить систему формальных обозначений для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни. 21

Задачи для самостоятельного решения 22

1.3. Числа 23

2. Матрицы. Действия с матрицами 24

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу). 25

3) Действие третье. Транспонирование матрицы 27

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц. 28

5) Действие пятое. Умножение матриц. 29

6) Действие шестое. Нахождение обратной матрицы. 31

2.1. Вычисление определителей 31

2.2. Вычисление обратной матрицы 36

2.3. Решение системы линейных уравнений 42

Решение системы линейных уравнений методом подстановки 43

Пример 1 43

Пример 2 44

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными 45

Пример 3 46

Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными 46

Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы 47

Пример 4 47

Пример 5 47

Пример 6 49

Продолжение урока на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы >>> 49

Решение системы по правилу Крамера 49

Рассмотрим систему уравнений  50

Пример 7 50

Ответ: ,  51

Решение системы с помощью обратной матрицы 54

Пример 11 54

Пример 12 57

Ответы: 57

Пример 3:   57

Полное решение примеров 8, 10, 12 >>> 57

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных) 58

Существуют следующие элементарные преобразования: 59

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений 60

Пример 1 61

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче. 62

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:  64

Пример 2 65

Пример 3 65

Пример 4 66

Пример 5 67

Решения и ответы: 68

Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения 70

Пример 1 70

Пример 2 71

Пример 3 72

Пример 4 76

Пример 5 76

Пример 6 79

Решения и ответы: 79

Ответ: Общее решение:  82

3. Комплексные числа 82

Не занимайтесь комплексными числами после комплексного обеда 82

Понятие комплексного числа 83

Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел 86

Сложение комплексных чисел 86

Пример 1 86

Сложить два комплексных числа ,  86

Вычитание комплексных чисел 86

Пример 2 86

Умножение комплексных чисел 87

Пример 3 87

Найти произведение комплексных чисел  ,  87

Деление комплексных чисел 87

Пример 4 87

Пример 5 88

Пример 6 88

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа 89

Модуль комплексного числа  стандартно обозначают:  или  89

Аргумент комплексного числа  стандартно обозначают:  или  90

Пример 7 90

Таким образом, запись принимает вид:  92

Пример 8 93

Число  – так:  95

Возведение комплексных чисел в степень 95

Пример 9 95

Возвести в квадрат комплексное число  95

Пример 10 96

Пример 11 96

Пример 12 97

Возвести в степень комплексные числа , ,  97

Пример 13 97

Возвести в степень комплексные числа ,  97

Извлечение корней из комплексных чисел 97

Пример 14 98

Решить квадратное уравнение  98

Пример 15 98

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? 98

Пример 16 98

Найти корни уравнения  98

Пример 17 99

Найти корни уравнения , где  100

По такому же алгоритму строится точка  101

Решения и ответы: 102

4. Математические формулы и графики 103

Для того чтобы успешно решать задачи по высшей математике НЕОБХОДИМО: 103

Математические формулы и таблицы 106

Горячие формулы школьного курса математики 107

Калькулятор для автоматических расчетов 107

Тригонометрические формулы 107

Тригонометрические таблицы 107

Графики и свойства элементарных функций 107

Графики и основные свойства элементарных функций 108

Как правильно построить координатные оси? 108

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей. 108

Трехмерный случай 109

Графики и основные свойства элементарных функций 110

График линейной функции 110

Пример 1 110

График квадратичной, кубической функции, график многочлена 113

Пример 2 114

Таким образом, вершина находится в точке  114

Если , то ветви параболы направлены вверх. 115

Если , то ветви параболы направлены вниз. 115

Кубическая парабола 115

График функции  118

График гиперболы 120

График функции вида  () представляют собой две ветви гиперболы. 121

Пример 3 121

Построить правую ветвь гиперболы  121

График показательной функции 122

График логарифмической функции 124

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: . 124

Графики тригонометрических функций 125

Построим график функции  125

График косинуса 126

Построим график функции  126

В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает». 126

Графики тангенса и котангенса 127

Построим график функции 127

Графики обратных тригонометрических функций 129

Построим график арксинуса  129

Построим график арккосинуса  129

Арктангенс – функция нечетная: . 131

  • Об авторах-составителях

Мелкумян Баграт Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент. Читает лекции и проводит семинарские занятия в Московском университете им. С. Ю. Витте по различным разделам дисциплины «Математика» на факультетах экономики и финансов, управления и юридическом. Преподает дисциплины «Базы данных», «Проектирование информационных систем», «Разработка и стандартизация программных средств и информационных технологий» и «Физика» на факультете управления для специальности «Прикладная информатика в экономике» различных форм обучения. Область научных интересов связана с разработкой лазерных устройств и использованием методов математической физики в системах управления.

Питерцева Галина Александровна – кандидат технических наук, доцент, почетный профессор Московского университета им. С. Ю. Витте. Область научных интересов связана с использованием математических методов в экономике РФ. В 2006 году была награждена знаком «Отличник высшего и профессионального образования». Читает лекции и проводит семинарские занятия по дисциплине «Математика» на факультетах экономики и финансов, управления, подготовительных курсах. Является автором курсов лекций и комплекса учебно-методических материалов по Математике для студентов и абитуриентов. Является разработчиком банков тестовых заданий по Математике для центра тестирования и для вступительных экзаменов.

  • От авторов-составителей

Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы. Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются строгие логические рассуждения. В древности областями применения математики были: землемерие, счет, торговля, архитектура и астрономия. В XVII-XVIII вв. появилась «Высшая математика» с направлениями аналитической геометрии, векторной и матричной алгебры, дифференциального исчисления, интегрального исчисления, дифференциальных уравнений, и т. д. В XIX-ХХ вв. на основе математики развиваются новые дисциплины: теория информации, теория оптимального управления и математическое программирование. В XX-XXI вв., благодаря быстродействующим вычислительным машинам, в использовании математических методов произошел качественный скачок.

Математическое мышление неудержимо проникает в практику экономических и гуманитарных наук, и следует быть к этому готовым.

Эти лекции предназначены для слушателей гуманитарных специальностей, изучающих курс математики в соответствии с учебными программами Московского университета им. С. Ю. Витте. Лекции курса дополняются примерами решения задач и контрольными упражнениями, которые облегчают понимание, показывают пользу теории, а также ликвидируют общеизвестную боязнь перед математикой.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]