Тема 3. Уравнение плоскости
1.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
перпендикулярно вектору
.
2.
Точка
служит основанием перпендикуляра,
опущенного из начала координат на
плоскость. Составить уравнение плоскости.
3.
Даны точки
и
.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
,
перпендикулярно
.
4.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
параллельно векторам
и
.
5.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через три точки:
,
и
.
6.
Составить уравнение плоскости, которая
проходит через точку
параллельно плоскости
.
7.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через начало координат параллельно
плоскости
.
8. Написать уравнение плоскости:
параллельной плоскости
и проходящей через точку
;проходящей через ось z и через точку
;параллельно оси
и проходящей через точки
и
.
9.
Через точку
провести плоскость, которая отсекала
бы на осях координат положительные и
равные между собой отрезки.
10.
Составить уравнение плоскости, зная ее
расстояние от трех точек
,
,
,
а именно:
,
,
.
11. Вычислить отрезки, отсекаемые по осям координат следующими плоскостями:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
12. Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
13. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:
,
;
,
;
,
;
14. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
,
;
,
;
,
.
15. Определить, при каких значениях l следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
,
;
,
;
,
.
16. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:
,
;
,
;
,
;
,
.
17.
Вычислить высоту h
пирамиды с вершинами
,
,
,
.
18.
На оси Oz
найти точку, равноудаленную от двух
плоскостей:
и
.
19.
На оси Ox
найти точку, равноудаленную от двух
плоскостей:
и
.
20.
Две грани куба лежат на плоскости
,
.
Вычислить объем этого куба.
Тема 4. Взаимное расположение прямой и плоскости
1.
Проверить, лежат ли на одной прямой
следующие три точки:
,
,
.
2.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
и образующей с осями координат углы,
соответственно равные
,
и
.
3.
Составить каноническое уравнение
прямой, проходящей через точку
параллельно:
1) вектору
; 2)
прямой
;
3) оси Ox; 4) оси Oy; 5) оси Oz.
4. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
1)
,
; 2)
,
;
3)
,
; 4)
,
.
5.
Составить параметрические уравнения
прямой, проходящей через точку
параллельно:
1) вектору
;
2) прямой
;
3) прямой
,
,
.
6.
Составить каноническое уравнение
прямой, проходящей через точку
параллельно прямой
.
7. Составить канонические уравнения следующих прямых:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
8. Вычислить направляющие косинусы прямых:
1)
; 2)
.
9. Доказать параллельность прямых:
1)
и
;
2)
,
,
и
;
3)
и
.
11. Доказать перпендикулярность прямых:
1)
и
;
2)
,
,
и
;
3)
и
.
12.
В плоскости
найти прямую, проходящую через начало
координат и перпендикулярную к прямой
.
13.
Напишите уравнение перпендикуляра,
опущенного из точки
на прямую
.
14.
Найти острый угол между прямыми:
,
.
15.
Даны прямые
,
.
При каком значении l
они пересекаются?
16.
Найти точку пересечения прямой
и плоскости
.
17.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точки пересечения плоскости
с прямыми
и
.
18.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку
и через прямую
.
19.
Через прямую
провести плоскость, перпендикулярную
плоскости
.
20.
При каком значении А
плоскость
будет параллельна прямой
?
21.
При каких значениях коэффициентов А
и В
плоскость
перпендикулярна прямой
?
22. Проверить, лежит ли прямая:
на
плоскости
;
на
плоскости
.
23.
Написать уравнение общего перпендикуляра
двух прямых:
и
.
24.
Найти тупой угол между прямыми
,
,
и
,
,
.
25.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через следующие две параллельные прямые:
и
.
26.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
и параллельной прямым
и
.