3. Определение устойчивости и показателей качества системы

управления

Одним из основных требований, предъявляемых к САУ, является требование устойчивости системы. Система автоматического управления считается устойчивой, если она, будучи выведена из состояния установившегося движения некоторым воздействием, возвращается в исходное состояние после прекращения этого воз­действия.

Таким образом, устойчивую систему можно определить как систему, переходные процессы в которой являются затухающими.

С помощью критериев устойчивости не только устанавливается факт устойчиво­сти или неустойчивости системы, но и оценивается влияние тех или иных параметров или структурных изменений в САУ на ее устойчивость.

Критерий позволяет легко оценивать влияние параметров от­дельных звеньев на устойчивость системы.

Наиболее распространенными методами расчета устойчивости системы явля­ются алгебраический и частотный.

Алгебраический метод. Существует два алгебраических метода.

Первый метод определения устойчивости по Ляпунову звучит так : если система линейна, то под влиянием воздействия Х(t) на входе изменение выходной переменной Y(t) во времени можно определить решением линейного дифферен­циального уравнения.

Согласно этому методу система является устойчивой, если Y(t) при t→ ∞ стремится к сво­ему начальному значению, которое Y(t) имела до приложения воздействия Х(t), и яв­ляется неустойчивой, если Y(t)не стремится к своему начально­му значению.

Второй алгебраический метод определения устойчивости САУ – это метод Гур­вица. Суть этого метода заключается в составлении матрицы из коэффициентов исследуе­мого уравнения. Для составления этой матрицы коэффициентов необходимо выписать по диагонали матрицы все коэффициенты уравнения, заполнить строки коэффициентами так, чтоб их номера возрастали слева направо. Для того чтобы система была устойчива, необхо­димо и достаточно, чтобы при >0 все N определителей, составленных из n строк и n столб­цов, были положительны.

Достоинства критерия Гурвица:

• простота использования для уравнений не выше шестого порядка;

• наличие аналитической связи между параметрами системы и условиями

устойчивости;

Недостатки критерия Гурвица:

• громоздкость исследования сложных систем;

• трудоемкость оценки влияния отдельных параметров на устойчивость

системы;

• трудность оценки качества работы системы

Вследствие этих причин критерия Гурвица применяются для определения ус­тойчивости сравнительно несложных систем.

Частотный метод. Основное преимущество частотных мето­дов заключается в их большой наглядности, обусловленной тем, что задача исследования сводится к изучению плоской кривой, которая может быть получена либо аналитически, либо экспериментально. Экспериментальный метод получения частотных характерис­тик системы или ее отдельных элементов позволяет провести ис­следование системы, у которой неизвестны дифференци­альные уравнения.

Частотные критерии устойчивости можно разделить на две груп­пы. Первая группа характеризует устойчивость замкнутой системы. Вторая группа характеризует устой­чивость разомкнутой системы. Частотные критерии являются графоаналитическими и обес­печи­вают наглядность инженерных расчетов. Они позволяют опреде­лить устойчивость замкнутой системы при отсутствии характери­стического уравнения и передаточных функций системы, исполь­зуя экспериментально полученные частотные характеристики зве­ньев и ра­зомкнутой системы в целом.

Существует два частотных критерия устойчивости САУ

Первый метод - критерий Михайлова. Суть этого критерия сводится к построе­нию КЧХ САУ, называемой кривой Михайлова. Для нахождения устойчивости необходимо и достаточно, чтобы характеристический вектор при изменении частоты 0...∞ повернулся в положительном направлении на число квадрантов, равное порядку исходного уравнения.

Критерий Михайлова целесообразен при исследовании слож­ных многоконтур­ных систем управления, когда необходимо вы­яснить влияние изменений структуры системы и средств стабили­зации на ее устойчивость.

Вторым частотным критерием устойчивости является крите­рий Найквиста. Суть

этого метода также сводится к построению КЧХ САУ, называемой годографом Найквиста. Крите­рий Найквиста формулируется по-разному в зависимости от того, устойчива разомкнутая система или нет : зам­кнутая система будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой сис­темы при изменении частоты 0...∞ не охва­тывает точку с координатами (-1, О).

Критерий Найквиста целесообразно применять при исследова­нии сложных сис­тем управления, где объекты имеют существен­ное запаздывание.

Исследуемая САУ имеет сложную структурную схему, поэтому для определения её устойчивости целесообразно применять частотный критерий устойчивости Михайлова.

Устойчивость САУ можно определить более наглядным и практическим методом - логарифмическим. Логарифмическим методом можно определить в каком состоянии, замк­нутом или разомкнутом САУ будет устойчива или неустойчива. Рассмотренный выше ам­плитудно-фазовый критерий Найквиста применим и в случае изображения КЧХ в виде ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Необходимым и достаточным условием такой системы явля­ется пересечение ЛАЧХ оси абсцисс раньше, чем ЛФЧХ пересекает линию, соответствую­щую ёе фазовому сдвигу, т.е. –π.

Качество переходного процесса определяется по показателям, которые харак­теризуют отклонение реального процесса от желаемого; они показывают насколько точно и

как быстро поле нанесения единичного ступенчатого возмущения в системе устанавлива­ется равновесное состояние. Качествами переходного процесса количественно оценивается следующими показателями.

Статическая ошибка регулирования – есть рассогласование между установив­шемся значением регулируемой величины после переходного процесса и заданным значе­нием.

Динамическая ошибка регулирования – максимальное отклонение регулируемой величины от её заданной значения.

Чем меньше статическая и динамическая ошибки, тем выше качество переход­ного процесса.

Логарифмические критерии качества. К ним относятся запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по модулю.

Запас устойчивости определяется величиной отклонения рас­четных параметров системы от значений, соответствующих гра­нице устойчивости.

Запас устойчивости по модулю и запас устойчивости по фазе можно определить по ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Запасом ус­тойчивости по модулю вектора называется величина, показываю­щая, во сколько раз необходимо увеличить или уменьшить коэффициент пере­дачи системы при неизменных значениях всех остальных ее параметров, чтобы устойчивая система оказалась на границе устойчивости.

Запасом ус­тойчивости по модулю наглядно можно увидеть и определить по графику (приложение В)

Lc=2 мм

Запасом устойчивости по фазе называется величина, показыва­ющая, на сколько нужно уменьшить (увеличить) фазу, не изме­няя амплитуды, чтобы устойчивая прежде сис­тема оказалась на границе устойчивости.

Запасом устойчивости по фазе наглядно можно увидеть и определить по графику (приложение В)

φ=1,5 мм

2.2 Синтез САУ объекта

2.2.1 Введение корректирующего устройства

Корректирующее устройства - это устройства, изменяющие динамические свойства системы с целью достижения желаемых характеристик, проявляется в изменении усиления отдельных гармоник или только в той области частот, которая оказывается существенной для формирования той или иной характеристики. Влияние корректирующих устройств на динамические свойства системы проявляется также и в изменении фазовой характеристики.

Использование корректирующих устройств приводит в итоге к деформации частотных характеристик, что и определяет коррекцию динамических свойств системы.

Корректирующие устройства могут включаться либо относительно одного или нескольких элементов САУ. По способу включения корректирующие устройства делятся на последовательные, параллельные и смешанные.

При последовательной коррекции дополнительное устройство включается последовательно с элементом системы. Оно включается в основном после измерительного датчика или предварительного усиления. Применение последовательных корректирующих устройств наиболее удобно в системах, у которых сигнал управления представляет собой напряжение постоянного тока. В качестве последовательного корректирующего устройства чаще всего используют дифференцирующее (форсирующее), интегрирующее или интегродифференцирующее звенья.

При параллельной коррекции устройство включается параллельно или встречно-параллельно одному или нескольким основным элементам системы. Обратная связь является эффективным средством получения требуемых динамических характеристик системы. В качестве параллельных корректирующих устройств чаще всего используются усилительное, интегральное и дифференциальное звенья.

Исследуемая САУ удовлетворяет условиям устойчивости и имеет достаточный запас устойчивости по амплитуде и по фазе, поэтому для уточнения качественных показателей САУ, т.е. запас устойчивости по амплитуде и по фазе, в качестве корректирующего устройства вводится интегрирующее звено, параллельно ко всей системе управления. Цель включения корректирующего устройства заключается в некотором уменьшении запаса устойчивости по амплитуде Lc и по фазе φ.

Структурная схема с корректирующим устройством представлена на рисунке 8.

- апериодическое звено; - интегрирующее звено.

Рисунок 8- Структурная схема САУ с корректирующим устройством

Заменяем параллельно соединенных звеньев и одним звеном с передаточной функцией

Заменяем р→jw

Разложим на действительную и мнимую части

Где

По результатам расчетов строим КЧХ

Таблица 4 – Результаты расчетов

w
0	0	0
1	6,4	-2,84
5	1,1	-2,5
10	0,3	-1,44

Рисунок 8- КЧХ с корректирующим устройством

Строим АЧХ

По результатам расчета составляем таблицу

Таблица 5- Результаты расчета

w	0	1	5	10
W(w)	0	7	2,7	1,5

Рисунок 9 – АЧХ с корректирующим устройством

Строим ЛАЧХ и ЛФЧХ

- ЛАЧХ

-ЛФЧХ

Рисунок 10 – ЛАЧХ и ЛФЧХ с корректирующим устройством

Строим временную характеристику

Составляем таблицу для построения временной характеристики

Таблица 3- Результаты расчетов

t	0	1	5	10	∞
h(t)	1	31,25	781,25	2531,25

Рисунок 11 – Временная характеристика с корректирующим устройством