2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ САУ
2.1. Передаточная функция
Целью рассмотрения САУ может быть решение одной из двух задач: задачи анализа или задачи синтеза. Но в любом случае порядок исследования САУ включает в себя следующие этапы: математическое описание, исследование установившихся режимов, исследование переходных режимов.
Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе можно выделить объект О и управляющее устройство УУ, как показано на рис.2.1.
f(t)
g(t) (t) y(t) x(t)
УУ О
Рис.2.1
Общее уравнение САУ получается из системы уравнений объекта и управляющего устройства.
Состояние объекта характеризуется выходной величиной x(t), регулирующим воздействием y(t) и возмущением f(t). Тогда выходная величина может быть представлена функцией:
Состояние управляющего устройства характеризуется регулирующим воздействием y(t) и входным воздействием (t). Процессы в УУ будут описываться двумя уравнениями:
Три последних уравнения полностью описывают процессы в САУ. Если в этих уравнениях исключить переменные y(t) и (t), то получим дифференциальное уравнение САУ:
Это уравнение оценивает состояние системы во времени, определяет переходные процессы и обычно называется уравнением динамики.
Однако в форме дифференциальных уравнений математическое описание в теории автоматического управления обычно не применяется вследствие сложности решения таких уравнений.
Исследование САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.
Возьмем некоторый элемент САУ, имеющий один вход и один выход. Дифференциальное уравнение элемента в общем случае имеет вид:
(2.1)
Если в уравнение
(2.1) вместо функции времени
и
ввести функции
и
комплексного переменного р, поставив
условием, что эти функции связаны
зависимостями:
(2.2)
то оказывается,
что дифференциальное уравнение,
содержащее функции
и
,
при нулевых начальных условиях равносильно
линейному алгебраическому уравнению,
содержащему функции
и
:
(2.3)
Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа.
Функция
называется изображением функции
,
функция
называется оригиналом функции
.
Операция перехода
от искомой функции
к ее изображению
(нахождение изображения от оригинала)
называется прямым преобразованием
Лапласа и записывается условно с помощью
символа L как
Операция перехода
от изображения
к искомой функции
(нахождение оригинала по изображению)
называется обратным преобразованием
Лапласа и записывается условно с помощью
символа
как
Формально переход
от дифференциального уравнения к
алгебраическому относительно изображения
при нулевых начальных условиях получается
путем замены символов дифференцирования
оригиналов функций
,
соответственно на
и функций
- их изображениями
.
С комплексной переменной
,
как и с другими членами алгебраического
уравнения, можно производить различные
действия: умножение, деление, вынесение
за скобки и т.д.
Так как возможность однозначного перехода от дифференциального уравнения к алгебраическому значительно упрощает расчеты, то важно убедиться в правомерности такого перехода.
Обозначим в исходном
дифференциальном уравнении
и согласно интегралу (2.2) найдем
изображение:
Согласно правилу интегрирования по частям
При нулевых
начальных условиях
и с учетом (2.2) получим:
Таким образом,
операция дифференцирования оригинала
соответствует операции умножения
изображения этого оригинала на комплексное
число
.
Так как
то
и т.д.
Каждый элемент САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.1). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших порядков.
Преобразование
дифференциальных уравнений по Лапласу
позволяет свести эту задачу к решению
системы алгебраических уравнений.
Определив из алгебраических уравнений
изображение
искомой
функции
,
определяющей переходной процесс в
системе, находят эту функцию, пользуясь
таблицами оригиналов и изображений или
по известным формулам обратного
преобразования Лапласа.
Кроме того, преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает возможность ввести понятие передаточной функции.
Вынеся в уравнении
(2.3)
и
за скобки, получим:
Определим из этого уравнения отношение изображения выходной величины к изображению входной:
(2.4)
Отношение изображения выходной величины элемента (или системы) к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией элемента (или системы).
Передаточная функция W(p) является дробно-рациональной функцией комплексной переменной р:
где
- полином степени n,
- полином степени
m.
Из определения передаточной функции следует, что:
Передаточная функция является основной формой математического описания объектов в теории автоматического управления и так как она полностью определяет динамические свойства объекта, то первоначальная задача расчета САУ сводится к определению передаточной функции.
Рассмотрим примеры по определению передаточной функций некоторых простейших схем, характерных для электроники.
Пример 2.1.
Вывести передаточную функцию для схемы на рис.2.2, считая входным воздействием приложенное напряжение u, а выходным - ток в цепи i.
R L
u
i
Рис.2.2
Процессы в схеме описываются уравнением:
Перейдем к изображениям по Лапласу:
Составим передаточную функцию как отношение изображения выходной величины к изображению входной величины:
где
- коэффициент передачи,
- постоянная
времени.
Передаточные функции принято записывать в такой форме, чтобы свободные члены полиномов от р равнялись бы единице, что и сделано как в рассмотренном примере, так и в последующих.
Пример 2.2.
Вывести передаточную
функцию схемы на рис.2.3, считая входной
величиной напряжение
,
а выходной -
.
R
C
i
Рис.2.3
При выводе передаточной функции будем считать, что цепочка не нагружена (никаких элементов к выходным зажимам не подключено, либо эти элементы имеют сопротивление, стремящееся к бесконечности) и сопротивление источника входного напряжения настолько мало, что им можно пренебречь.
(а)
(б)
(в)
Подставим (в) в (а):
Перейдем к изображениям:
Передаточная функция
где
- постоянная времени.
Пример 2.3.
Вывести передаточную
функцию схемы на рис.2.4, считая входной
величиной
,
выходной
,
при допущениях, сформулированных в
примере 2.2.
C
R1
R2
Рис.2.4
Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа, одно уравнение по первому закону Кирхгофа и расписываем выходную величину:
(a)
(б)
(в)
(г)
Из уравнений (б) и (в) соответственно получим:
Подставим полученные
выражения
и
в уравнения (а) и (г):
Перейдем к изображениям:
Передаточная функция:
где
- коэффициент передачи,
,
- постоянные времени.