Випадок незалежних частинних похибок

У випадку незалежних частинних похибок коефіцієнт кореляції дорівнює нулю , і тоді формулу (2.5) для випадку, коли , залишімо у вигляді

Цей висновок можна поширити й на більшу кількість величин .

У загальному випадку, коли

(2.7)

Таким чином, знаючи середньоквадратичні похибки прямих вимірювань за формулою (2.7), можна розрахувати середньоквадратичну похибку результатів непрямих вимірювань.

За формулою (2.7) можна обчислювати й граничні (максимальні) похибки. Дійсно, якщо закон розподілу усіх однаковий і задана однакова надійна ймовірність (при великому ), то і (коефіцієнт Стьюдента) однакові для усіх . Тоді максимальна похибка

і

(2.8)

Розгляньмо деякі окремі випадки застосування формули (2.7).

а) Функціональну залежність між непрямими й безпосередньо вимірюваними величинами записують у вигляді

У цьому випадку

Приклад 1. Визначити максимальну похибку сумарного опору, складеного з 12 послідовно увімкнених опорів (2 опори по 1000±10 Ом; 4 опори по 100±3 Ом і 6 опорів по 10±1 Ом):

Ом;

Ом .

б) Функціональну залежність між непрямими й безпосередньо вимірюваними величинами виражають формулою, зручною для логарифмування:

де

- числовий безрозмірний коефіцієнт;

- постійні числа.

У тому випадку, коли в цю формулу входять різнорідні величини, розрахунок дисперсії результату непрямого вимірювання зручно робити, уводячи так звану відносну середньоквадратичну похибку. Покажімо це.

Визначімо частинні похідні

Тоді

.

Розділивши обидві частини отриманого виразу на , одержимо

чи

де

• відповідні відносні середньоквадратичні похибки.

У випадку, якщо відомі максимальні похибки, максимальна відносна похибка результату непрямого вимірювання визначається за формулою

де – максимальні похибки величин відповідно.

У випадку, якщо , одержимо

Приклад 2. Визначити відносну середньоквадратичну похибку непрямого вимірювання власної частоти резонансного контуру, якщо величини і вимірювані з відносними середньоквадратичними похибками 2,5% і 1,5% відповідно

Приклад 3. Знайти значення максимальної похибки вимірювання електричної енергії з наступними даними:

А;

Ом;

с.

Для обчислення енергії скористуймося формулою

кДж.

Відносна максимальна похибка непрямого вимірювання енергії

Отже, максимальна похибка визначення енергії

кДж.

Остаточно кДж.

Випадок залежних частинних похибок

На практиці часто результати прямих вимірювань бувають взаємозалежними. Це звичайно буває місце при вимірюванні двох і більш однорідних величин. Наприклад, смугу пропускання знаходять як різницю двох частот ємність визначають методом зміщення з виразу тощо.

Відліки цих однорідних величин лежать, як правило, на близькій відстані один від одного по шкалі. Відліки при таких вимірюваннях роблять один за іншим через невеликі проміжки часу. Тому варто очікувати, що вплив деяких факторів, наприклад зовнішньої температури, нестабільності джерел живлення та ін., що впливають на похибку, буде майже однаковим. При розрахунку різниці результатів прямих вимірювань частина похибок (випадкових і систематичних), обумовлені цими факторами, компенсується. Залишаться в основному похибки, обумовлені тими факторами, що встигли між замірюваннями змінитися. Цей зв’язок не функціональний, тому що при багаторазових вимірюваннях похибки будуть різними. Отже, буде мати місце імовірнісний зв’язок між похибками, тобто вони будуть корельовані. Коефіцієнт кореляції може приймати значення , і для розрахунку похибки варто користуватися формулою(2.5) чи (2.6), а для розрахунку коефіцієнта кореляції – формулою (2.4). Слід зазначити, що ці формули справедливі для великих . При замінюванні істинного значення величин і на їх середнє арифметичне й при великих формула (2.4) вимагає корекції. Корекція її здійснюється таким же самим чином, як і формула дисперсії при прямих вимірюваннях.

З урахуванням цього формула для розраховування коефіцієнта кореляції буде

(2.9)

або

Формула для розраховування загальної середньоквадратичної похибки буде

Якщо функціональна залежність між результатами прямих вимірювань має формулу, зручну для логарифмування, і у формулу входять різнорідні фізичні величини, наприклад , то зручно користуватися відносними середньоквадратичними похибками. У цьому випадку, відносна середньоквадратична похибка результату непрямого вимірювання буде визначатися за формулою

де – відносні середньоквадратичні похибки прямих вимірювань.

На практиці часто роблять вимірювання двох однорідних величин, а потім обчислюють їхню різницю. Наприклад, при методі зміщення, при вимірюванні смуги пропускання тощо. У цьому випадку

і

Отже,

Таким чином, ми завершили розгляд найбільше розповсюджених випадків опрацювання результатів непрямих вимірювань.