Закон її сумісного розподілу визначають за формулою
(х,у) = 1(х) ,
або (х,у) = 2(y) .
Випадкова величина Х буде незалежною від випадкової величини Y, якщо закон розподілу величини Х не залежить від прийнятого значення величини Y, тобто
= 1(х),
і навпаки, для випадкової величини Y маємо
= 2(у).
Якщо вони взаємно залежні між собою, то
1(х); 2(у).
Випадкові величини Х i Y незалежні, якщо щільність сумісного розподілу (х,у) можна визначити у вигляді добутку двох множників, кожен із яких утримує тільки величини х та у, тобто
(х,у)
=
.
Додамо,
що при розкладанні, функції
з
точністю до постійної множників
збігаються з щільностями розподілу
1(x)
і 2(у).
Між випадковими величинами виникає функціональна або стохастична (ймовірна) залежність.
Функціональною залежністю між випадковими величинами Х і Y називають таку залежність, коли кожному значенню Х відповідає точне значення Y.
Наприклад, у = х2, S = ab і т.д.
Стохастичною (ймовірною) залежністю між випадковими величинами Х і Y називають таку залежність, при якій кожному значенню х можна вказати розподіл величини у, яке змінюється при зміні х.
Така залежність в практичній діяльності зустрічається досить часто. Наприклад, зріст та вага людини, висота і товщина дерева в лісі, величина деформації інженерних споруд, час їх експлуатації і т.д.
Тобто у випадку ймовірної залежності на кожне точне значення аргументу х можна вказати значення випадкової величини у з певною мірою ймовірності (Ру).
Система двох випадкових величин може підкорятися різним законам розподілу. Проте в практиці геодезичних вимірювань найбільше розповсюдження має нормальний закон розподілу.
Якщо випадкові величини Х і Y мають нормальний розподіл і незалежні між собою, то щільності розподілу кожної із них будуть:
1(х)
=
;
(6)
2
(y
) =
.
Згідно з формулою щільність розподілу системи (Х, Y), якщо випадкові величини Х та Y незалежні, отримаємо у вигляді
(х,у)
=
.
(7)
Якщо центр системи (х,у) знаходиться на початку системи координат х0у, тобто Мх = Му = 0, то
(х,у)
=
.
(8)
Поверхня щільності нормального розподілу системи (х,у) має опуклий вигляд (горб), показаний на рис. 2.
Ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник із сторонами паралельними осям координат, в межі з координатами х1,х2 і у1,y2 (рис. 1) визначається за формулою
Р(х1
<
X
< x2
, y1
< Y
< y2
)
=
(x,y)
dx
dy.
(9)
При нормальному розподілі системи двох випадкових величин отримаємо
Р(х1<X<x2,y1<Y<y2)=
.
(10)
3. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції і рівняння регресії
Найбільш повними ймовірними характеристиками системи двох випадкових величин є закон розподілу. Однак в практичній діяльності не завжди є можливість визначити його. Тому при дослідженнях систему двох випадкових величин характеризують їх числовими характеристиками: початковими та центральними моментами.
Початковим
моментом
порядку
s,
q
системи
(Х,Y)
називається
математичне сподівання від добутка
ХS
на
тобто
.
(11)
Для системи дискретних випадкових величин
,
(12)
де Рxiyi = Р(Х = хі; Y = yi ) ймовірність того, що система (х,у) прийме значення (хі,уі), а додавання розповсюджується по всіх можливих значеннях випадкових величин Х і Y.