Задача 2.
Сгруппированный вариационный ряд задан серединами интервалов xi и соответствующими им частотами mi. Восстановить интервалы и оценить с помощью критерия Пирсона хи-квадрат согласие данных с нормальным распределением при уровне значимости α=1-(0,90+0,01·b), где b-последняя цифра шифра.
Решение.
По условию α=0,1 и
xi |
mi |
||||||||||
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
m5 |
m6 |
2,5 |
3,5 |
4,5 |
5,5 |
6,5 |
7,5 |
6 |
7 |
13 |
10 |
9 |
5 |
Так как промежутки группировки выбираются равными и нам даны их середины, мы можем определить данные интервалы, а именно: [2;3], [3;4], [4;5], [5;6], [6;7], [7;8].
Введем условную варианту, определив
шаг h=1 и выбрав ложный
нуль С=5,5, и найдем
и
∆i |
xi |
mi |
|
ui*mi |
u2i |
u2imi |
1 |
2,5 |
6 |
-3 |
-18 |
9 |
54 |
2 |
3,5 |
7 |
-2 |
-14 |
4 |
28 |
3 |
4,5 |
13 |
-1 |
-13 |
1 |
13 |
4 |
5,5 |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
6,5 |
9 |
1 |
9 |
1 |
9 |
6 |
7,5 |
5 |
2 |
10 |
4 |
20 |
Σ |
|
50 |
|
-26 |
|
124 |
П
о
данным таблицы имеем n=50
и:
Найдем теоретические частоты для интервалов ∆i=(αi, βi), используя формулу вероятности попадания значений в этот интервал.
для нормального распределения с
параметрами a=
и
∆i |
|
|
Ф(t1) |
Ф(t2) |
Pi= =Ф(t2)-Ф(t1) |
npi |
2-3 |
-2 |
-1,33 |
-0,4772 |
-0,4082 |
0,0690 |
3,45 |
3-4 |
-1,33 |
-0,66 |
-0,4082 |
-0,2454 |
0,1628 |
8,14 |
4-5 |
-0,66 |
0,01 |
-0,2454 |
-0,0040 |
0,2494 |
12,47 |
5-6 |
0,01 |
0,68 |
-0,0040 |
0,2517 |
0,2477 |
12,39 |
6-7 |
0,68 |
1,36 |
0,2517 |
0,4131 |
0,1614 |
8,07 |
7-8 |
1,36 |
2,03 |
0,4131 |
0,4788 |
0,0657 |
3,29 |
Найдем выборочное значение χ2
Номер ∆i |
Границы ∆i |
mi |
npi |
mi-npi |
(mi-npi)2 |
(mi-npi)2/npi |
1 |
2-3 |
6 |
4 |
2 |
4 |
1 |
2 |
3-4 |
7 |
8 |
-1 |
1 |
0,125 |
3 |
4-5 |
13 |
13 |
0 |
0 |
0 |
4 |
5-6 |
10 |
12 |
-2 |
4 |
0,333 |
5 |
6-7 |
9 |
8 |
1 |
1 |
0,125 |
6 |
7-8 |
5 |
3 |
2 |
4 |
1,333 |
Получим χ2=
=2,916.
Так кА число промежутков k=6,
а число наложенных связей ρ=3, то число
степеней свободы r=k-
ρ=6-3=3 и поэтому по таблице критических
значений
имеем
Сравнивая найденное значение χ2=2,916
с критическим (2,916<6,25), определяем, что
рассматриваемые данные можно считать
полученными из нормально распределенной
совокупности.