Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Теория автоматического управления

Файл:

Кошкин Ю.Н. Основы теории управления. Лекции для студентов / tau_3

.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

2. Для каждой	i -й трапеции находится коэффициент χ	i	=	ωdi	(в примере i = 1,2,3).
		i		ω
				Пi

3.По таблице h-функций для определенного значения χi , задаваясь временем τ от 0 до τi (установившееся значение) определяются hi (τi ), (в примере i = 1,2,3).

4.По теореме об изменении масштаба по оси ординат, от единичной трапеции переходят к

реальным. xi		(τ) = hi (τi ) Pi (0), (в примере i = 1,2,3)
5. По теореме		об	изменении масштаба по оси абсцисс, переходят к реальному времени t .
	τ	i
			, (в примере i = 1,2,3)

xi(t) = xi	ω
		Пi

6. Результирующий ПП равен алгебраической сумме ПП для отдельных трапеций

x(t) = ∑xi (t), (в примере i = 1,2,3)

i=1

Кроме рассмотренного метода трапеций применяется ещё метод треугольников. Он отличается от рассмотренного тем, что разбиение ВЧХ производится не на трапеции, а на треугольники, т.е. исключается еще один параметр χ . Таблицы h-функций для треугольников несколько проще, однако он

широко не распространён из-за большого количества треугольников, аппроксимирующих кривую ВЧХ.

Связь ВЧХ замкнутой системы с амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы (круговые диаграммы)

Установим связь между кривой АФХ разомкнутой системы и ВЧХ замкнутой. С этой целью на график АФХ разомкнутой системы наносят сетку кривых одинаковых значений P(ω),

называемую вещественной круговой диаграммой. Если имеем САУ (рис.103)

G(p)	E(p)	Wp(p)	X(p)
	рис. 103

		Wp (jω) = M(ω) + jN(ω),
	Wз( jω) =			Wp( jω)		= P(ω) + jQ(ω).
	Wз( jω) =		1	+Wp( jω)		= P(ω) + jQ(ω).
			1	+Wp( jω)
Подставим (1) в (2), получим
P(ω)+ jQ(ω) =		M(ω)+ jN(ω) [1+M (ω)− jN(ω)]					=

		1+ M(ω)+ jN(ω) [1+M (ω)− jN(ω)]
		1+ M(ω)+ jN(ω) [1+M (ω)− jN(ω)]
=	M(ω) [1	+ M(ω)]+ N			2 (ω)+ j[N(ω)][1+ M(ω)− M(ω)N(ω)]			.
=				[1	+ M(ω)]2 + N2 (ω)			.
				[1	+ M(ω)]2 + N2 (ω)

Приравниваем в (3) вещественные части, получим

(1)

(2)

(3)

P(ω) =

M(ω)[1+ M(ω)]+ N 2 (ω)

M(ω) + M2 (ω) + N 2 (ω)

(4)

[1+ M(ω)]2 + N2 (ω)

[1+ M(ω)]2 + N 2 (ω)

Уравнение (4) при

P(ω) = const в координатной системе [M(ω),N(ω)] является уравнением

окружности. Покажем это: Из (4) получаем

(5)

P(ω) + 2P(ω)M(ω) + P(ω)M2 (ω) + P(ω)N2 (ω) − M(ω) − M2 (ω) − N 2 (ω) = 0

или

(6)

M2 (ω)[P(ω) −1]+ M(ω)[2P(ω) −1]+ N2 (ω)[P(ω) −1]= −P(ω) .

Разделим левую и правую части (6) на [P(ω) − 1]

(ω) + M

2P(ω) −1

P(ω)

(7)

(ω) P(ω) −1 + N

(ω) = − P(ω) −1.

Добавим к левой и правой частям (7) многочлен																																	[2P(ω) −1]2
Добавим к левой и правой частям (7) многочлен																																	4[P(ω) −1]2
																																	4[P(ω) −1]2
M	2	(ω)+ M(ω)					2P(ω)−1			+	[2P(ω)−1]2												+ N						2		(ω) = −					P(ω)				+	[2P(ω)−1]2					,
M		(ω)+ M(ω)					P(ω)−1			+		4[P(ω)−1]2											+ N								(ω) = −					P(ω)−1				+	4[P(ω)−				1]2	,
							P(ω)−1					4[P(ω)−1]2																								P(ω)−1					4[P(ω)−				1]2
								2P(ω) −1										2		+ N 2 (ω) = −														P(ω)			+	[2P(ω) −1]2										(8)
			M(ω) +					2[P(ω) −1]												+ N 2 (ω) = −														P(ω) −1			+			ω		−		2 .
																																						4[P(			)		1]
Уравнение (8) в координатах [M(ω),N(ω)]																													при P(ω) = const представляет собой окружность с
радиусом									[2P(ω)−1]2													− 4P(ω)[2P(ω)−1]+[2P(ω)−1]2
		R	2			P(ω)			[2P(ω)−1]2													− 4P(ω)[2P(ω)−1]+[2P(ω)−1]2																										(9)
		R		= − P(ω)−1+					4[P(ω)−1]2 =																										4[P(ω)−1]2										=
					=		− 4P2 (ω)+ 4P(ω)+ 4P2 (ω)− 4P(ω)+1																														=				1
					=										4[P(ω)−1]2																						=		4[P(ω)−1]2
															4[P(ω)−1]2																								4[P(ω)−1]2
или
																									1																							(10)
																		R = 2[P(ω) −1] .
Центр окружности расположен на вещественной оси M на расстоянии l = −																																													2P(ω) −1			от начала
координат.																																													2[P(ω) −1]
координат.																										Im							N(ω)
																										Im							N(ω)
																					1,0
																																	4
																																			,9
																																		0
										1
										,
										1
									1,																								3		5
									1																									,8
										5																								0
									1,																									0,8
										2																								0,8
										1																							2	75
										,25																							2	0,
										1,3																								0,7
										1,35																								0,65
										1,4																								0,6
											,5																						1	0,
										1																								0,
																																		5
											,6																						0,
										1																								4
												,7													ω								0,
											1														ω			7			0			3
												,8																7		0			,
												1																0		0			2
												1										ω						0			,
													,9													-			,		1
													,9		0								-			0			0
													1		0								-				,							ω8
															,		2						6	0			2
														2			2		5				-		,
																,			5	,0			1		5																							M(ω)
																2		2	,	,0			,									0									ω=0
																		2		3			0
		-5			-4			-3						-2						-1,j0	ω5															1			2				3			4	5	Im
		-5			-4			-3						-2						-1,j0	ω5															1			2				3			4	5	Im
																							ω4														ω1
																							ω3									-1ω2
																																-1ω2
																																-2
																																-3
																																-4
																									Рис.104
P(ω) = 0;				R = 05,;				l = −0,5.																						P(ω) =15,;							R =1;				l = −2.
P(ω) = 0,5;					R = 1;			l = 0.																						P(ω) = 2,0;							R = 0,5;					l = −15,.
P(ω) = 10,;					R = ∞;			l = ∞(прямая).
																													66

P
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2								ω
0,1	ω1	ω2	ω3	ω4	ω5	ω6	ω7	ω
-0,1	ω1	ω2	ω3	ω4	ω5	ω6	ω7	ω8
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
				Рис.105

Для определения графика P(ω) замкнутой

системы, на круговую диаграмму, взятую из литературы (рис.104), необходимо наложить АФХ разомкнутой системы, вычерченную на кальке в том же масштабе. Точки пересечения

АФХ с	окружностями	P = const	будут
определять	ординаты	P(ω) при	ω ,

соответствующих точкам пересечения (рис.105).

Аналогичным образом может быть построена мнимая круговая диаграмма для Q = const .

Отметим, что круговыми диаграммами для построения ВЧХ замкнутой системы по АЧХ разомкнутой системы можно пользоваться только для систем с единичной обратной связью.

Определение ВЧХ замкнутой системы по ЛЧХ разомкнутой системы

Если расчет устойчивости САУ производился по ЛЧХ, то аналогично выше рассмотренному, на плоскости ЛАФЧХ разомкнутой системы можно построить диаграммы с линиями равных P (или Q) и

определить ВЧХ (или МЧХ) замкнутой системы.
Если								(1)
Wp (jω) = A(ω)ejϕ(ω ) = A(ω)cosϕ(ω) + jA(ω)sinϕ(ω),								(1)
то		Wp ( jω)
Wз ( jω) =		Wp ( jω)		=		A(ω)cosϕ(ω) + jA(ω)sinϕ(ω)	.	(2)
Wз ( jω) =	1	+Wp ( jω)		=	1	+ A(ω)cosϕ(ω) + jA(ω)sinϕ(ω)	.
	1	+Wp ( jω)			1	+ A(ω)cosϕ(ω) + jA(ω)sinϕ(ω)
Выделив из (2) вещественную и мнимую части, получим
		P(ω) =		A2 (ω) + A(ω)cosϕ(ω)				(3)
		P(ω) =	1+ A2 (ω) + 2A(ω)cosϕ(ω)

Q(ω) =	A(ω)sinϕ(ω)	(4)
	1+ A2 (ω) + 2A(ω)cosϕ(ω) .

По уравнениям (3) [или (4)] при P = const (или Q = const ) построены диаграммы (номограммы) (рис. 106).

По известным ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы, для ωi строится на номограмме (на кальке в масштабе номограммы АФХ) характеристика разомкнутой системы, указывая частоты на ней ωi . По

точкам пересечения этой характеристики с кривыми номограммы определяется вещественная (или мнимая) частотная характеристика замкнутой системы.

Аналогично предыдущему, номограммами для построения ВЧХ замкнутой системы по ЛЧХ разомкнутой можно пользоваться только для единичной обратной связи. При неединичной обратной связи, если есть возможность, то необходимо привести ОС к единичной. Если это не удается, то круговыми диаграммами и номограммами пользоваться нельзя. В этом случае ВЧХ можно построить по аналитической зависимости P(ω) замкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞.

		0			20°		40°		60°				80°	100°	120°		140°		160°	180°
	дб						1,						1	1,00			8						дб
													,
													0
							0						1			,9
	28							3					1			0							28
	28	1,05																					28
	26	1,05																					26
	26																			0,95			26
	24	1,0		75																0,93			24
	22			75																			22

		1	,10												ω1
	20	1																					20


																				0,90
	18	1,1																		0,90			18
		1,1		5
				5
	16	1,													ω2					0,85			16
	16		2												ω2					0,85			16
	14	1,																		0,82			14
			3																	0,80
	12	1,4													ω3					0,80			12
	12	1,4													ω3								12
	10	1	,5																	0,75			10
	10		,5																	0,75			10
	8	1	,8																	0,70			8
			,8
	6	2,													ω4					0,65			6
		2,
	4		5																				4
	4	3,0																		0,59			4
	2				ω9															0,59			2
	0																			0,50			0
	-2		ω8											ω5						0,41			-2
	-2	,0							ω6														-2
		,0
	-4	-2			ω7																		-4
			,5		ω7
		-1																		0,35
	-6																			0,35			-6
	-6		,8																				-6
			,8
	-8	-0																		0,30			-8
																				0,30
		0,5																		0,25
	-10	0,5																					-10
	-10	-	,4																				-10
			,4
	-12	-0																		0,20			-12
			,3																	0,20
			,3
	-14	-0																		0,18			-14
																				0,18
				0																0,15
			,2
	-16	-0																					-16
	-16			5																			-16
				5
			,1
	-18	-0																		0,10			-18
	-18																			0,10			-18
	-20	-0,10																					-20
	-22		,075																	0,0		7	-22
	-22		,075																			7	-22
	-24	-0																					-24
	-24																			0,			-24
																				0
	-26			5																	5		-26
			,0
		-0
	-28						3				0	1					0						-28
						,0					0						0
						-0			-0	,			0,0					02
ϕ°(ω)									-0
ϕ°(ω)	-180°				-160°		-140°		-120°				-100° -80°		-60°		-40°		-20°			0
													Рис.106
СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Постановка задачи:

Как мы уже говорили, при исследовании САУ приходиться иметь дело с двумя задачами:

1.Задача анализа, когда при заданной САУ требуется определить её устойчивость и построить переходные процессы, т.е. имеем дело, в основном, с математической задачей.

2.Задача синтеза САУ, когда по заданным показателям качества необходимо определить параметры САУ.

Обе задачи имеют много общего и связаны между собой. Однако задача синтеза значительно сложнее задачи анализа, её решение не является однозначным, т.к. одни и те же качественные показатели можно удовлетворить различными путями.

Рассмотрим структуру САУ.

		f(t)
g(t)	ε(t) Регулятор u(t)	Объект	x(t)
		управления

Рис.107

Синтезировать всю САУ почти невозможно. Поэтому обычно (что практически оправдано) часть проектируемой системы задано. Обычно задана и выбирается по техническим параметрам силовая часть системы (объект управления). Кроме того, заданы качественные показатели переходного процесса. Пэотому необходимо определить параметры регулятора, которые удовлетворяют выше названным требованиям.

Нередко задача синтеза суживается ещё больше, а именно, при заданном ОУ и регуляторе, требуемые показатели качества обеспечиваются включением так называемых корректирующих устройств.

Формулировка задачи синтеза

Правильно поставленная задача синтеза должна содержать три элемента:

1.Задание математической модели объекта.

2.Задание требований к статическим и динамическим свойствам системы.

3.Задание класса регуляторов.

1.Математическая модель объекта, как известно, может быть представлена в виде:

1.1.Системы дифференциальных уравнений. Тогда математическая модель будет описываться

{A, B, C};

1.2.Передаточных функций (матриц) W(p);

1.3.Частотных характеристик системы W(jω) = P(ω) + jQ(ω) .

2.В зависимости от выбранной формы описания объекта, требования к статике и динамике системы могут быть также сформулированы в виде:

2.1.Желаемых матриц {A* , B*, C* }, задающих поведение замкнутой системы;

2.2.Желаемых передаточных функций (матриц) замкнутой САУ W*(p);

2.3.Желаемых частотных характеристик замкнутой системы W* ( jω).

Желаемые характеристики во всех трёх случаях определяются исходя из требуемых показателей качества переходного процесса, т.е. ε, tp , σ%, µ .

3. Класс регуляторов задаётся также в зависимости от выбора описания объекта.

Сочетание всех трёх элементов обуславливает выбор метода синтеза системы. В настоящее время для синтеза линейных систем разработано ≈ 15 методов. Однако наибольшее распространение из них получили 5 - 6.

При синтезе современных сложных систем управления необходимо проводить анализ с точки зрения их управляемости, а предъявляемых требований с точки зрения их реализуемости.

Управляемость динамических систем

Это понятие было сформулировано в начале 60-х годов в США Р.Калманом и в настоящее время является одним из фундаментальных понятий в теории управления.

– то система полностью

xn			Калман	рассматривал поведение		линейной	динамической	системы
xn			Калман	рассматривал поведение		линейной	динамической	системы
			x&= Ax + Bu	и ставил	задачу перевода	системы	из одной точки	x(0) в
	x(T)		другую x(T) (рис.108).
			Объект называется управляемым, если он может быть переведен из точки
			x(0) в другую точку		x(T) за конечное время		t [0,T] при конечном
	x(0)	x1 управлении u.
	Рис.108
	Рис.108

Критерий управляемости

Система будет управляемой, если специальная матрица управляемости имеет ранг, равный n, где

n– порядок характеристического уравнения системы Матрица управляемости составляется следующим образом:

P = [B AB A2B Κ An−1B].

Следовательно, для того, чтобы узнать управляема система или нет, необходимо по исходной системе дифференциальных уравнений составить матрицу управляемости P и определить её ранг.

Если x Rn , u Rm , то dimP = n × nm, причем если rang = n управляема, а если rang ≠ n – то неуправляема.

Пример: Рассмотрим условие управляемости для скалярной системы, описываемой уравнениями:

&	= 2x1		+ x2 ,					2		1
x1	= 2x1		+ x2 ,				x R	2	, u R	1	, n = 2, m= 1.
&	= 5x1		− x2 + 2u,				x R		, u R		, n = 2, m= 1.
x2	= 5x1		− x2 + 2u,
	2		1	B =		0
A= 5		− 1 ;		B =	2 .

Составим матрицу управляемости:
P =[B AB]				0		2	,
P =[B AB]				= 2		− 2	,

det P = −4 ≠ 0, следовательно rang = 2 – система полностью управляема.

Одно из свойств неуправляемой системы состоит в следующем: Если САУ описывается системой дифференциальных уравнений

x&= Ax + Bu

и существует такое невырожденное преобразование координат x~ = Mx , где det M ≠ 0, что уравнение

объекта может быть представлено в виде		~ ~	~ ~	~
~&	=	~ ~	~ ~	~
x1	=	A11x1	+ A12 x2	+ B1u,
~&		~ ~	,
x2	= A22 x2		,
то система является неуправляемой.		~		~	, ни от	u, поэтому	~	является
Действительно, поведение координаты		~		~			~
Действительно, поведение координаты		x2 не зависит ни от x1					x2

неуправляемой координатой.

~x2 (0)

~	⌠
A22	⌡

		~
		A12
u	~	⌠
	B1	⌡
		~
		A11

~x2

~x1(0)

	Неуправляемая часть	системы влияет на
		~
	процессы в управляемой части через матрицу A12 .
	Если неуправляемая часть устойчива, то её
	влияние на переменные x~1	будет сказываться до тех
	пор, пока не закончатся переходные процессы по
	~
	x2 .
~	Если неуправляемая часть неустойчива, то она

x1 приводит к неустойчивости всей системы. Следовательно такую систему нужно переделать конструктивно.

Рис.109

Реализуемость

det A≠ 0.

Это понятие возникло потому, что в реальных системах управляющие воздействия всегда ограничены. Следовательно необходимо убедиться в том, что поставленные требования к системе будут реализованы.

Рассматривается реализуемость равновесного состояния и реализуемость заданного (желаемого) движения.

1. Реализуемость равновесного состояния

САУ описывается уравнением:

x&= Ax + Bu, x Rn , u Rm , dim A = n × n , dimB = n × m, rangB = m – полный.

Реализуемым будем называть такое равновесное состояние, при котором вычисленные значения уравнений u, не выходят из области ограничений, т.е. u Ω .

В статике x&= 0; Пусть матрица A невырождена, т.е.

0= Ax0 + Bu x0 = −A−1Bu.

Обозначим D = −A−1B, причем dimD = n× m.

Пусть rangD = m, т.е. является полным. Разобьем последнее уравнение на две системы

x10 = D1u,

x20 = D2u,

где x10 Rn−m , x20 Rm .

(1)

(2)

Переменные x20 можно выбирать таким образом, чтобы rangD2 = m, т.е. det D2 ≠ 0, тогда из второго уравнения (2) выразим управление

u = D2−1x20 .

(3)

Для определения множества равновесных состояний подставим (3) в первое уравнение из (2)

x10 = D1D2−1x20 .

(4)

Из (4) видно, что множество равновесных состояний – есть многообразие в пространстве состояний, описываемое уравнением

S(x) = x10 − D1D2−1x20 = 0.

(5)

Размерность многообразия S Rm .

Вывод: С помощью m-мерного управления система n-го порядка не может быть переведена в произвольную точку пространства состояний. Её можно перевести лишь на многообразие размерности m.

Пример: Определить состояние равновесия для системы

+ x2 −u,

x1 = 2x1

= −x1 + 5x2 + u.

Уравнение статики при x&= 0

2x0 + x

−u = 0,

→ u

= 2x10

+ x20

→ − x10 + 5x20 + 2x10 + x20 = 0,

− x0

+ u = 0

+ 5x

x20

x10 + 6x20 = 0,

x10

x0 +

= 0,

6 1

-6

-1/6

S(x) = x20

x10

= 0

limx(t) = x0.

S(x) = 0

t→∞

Рис.110

2. Реализуемость желаемых дифференциальных уравнений

Рассмотрим объект, описываемый дифференциальными уравнениями:

&	n		m		(1)
x = Ax + Bu, x R		, u R		.

Зададим некоторое желаемое движение в виде дифференциального уравнения
x&= F(x,v) – желаемое дифференциальное уравнение					(2)
отражает требования, предъявляемые к системе, где v – вектор входных воздействий на систему.
Встает вопрос. Как выбрать функцию F ? Ответ дает условие реализуемости.					x&= F(x,v), для
Реализуемыми называются такие желаемые дифференциальные уравнения
которых существует конечное управляющее воздействие, удовлетворяющее условию:
Ax + Bu = F(x,v).					(3)

Но матрица B в данном выражении прямоугольная и поэтому разрешить это уравнение относительно управления u нельзя. Тогда поступают следующим образом:

Разбивают (3) на две группы уравнений, таких

A1x + B1u =

F =

(4)

A x + B

u =

где A= A

B = B

причем, необходимо, чтобы матрица B1

была невырождена, т.е.

detB1

≠ 0,

следовательно матрица B1

будет квадратной и dimB1

= m× m.

Тогда

u = B1−1(F1 − A1x)

(5)

– конечно.

Подставим во второе уравнение системы (4) выражение (5) и выразим F2

(6)

= A2 x + B2 B1−1(F1

− A1x).

Из выражения (6) видно,

что F1

можно задавать произвольно,

– строго фиксировано и

выбирается в соответствии с (6).

	Вывод: Для объекта n-го порядка с m-мерным управляющим воздействием желаемое движение
должно выбираться в виде				F1			(7)
		F1		F1			(7)
		F(x,v) = F	= A x + B	B−1	(F − A x) .
		2	2	2 1	1	1
&	Произвольно можно задавать динамику для m переменных состояния, причем она создается в виде
&	= F1 (x,v).
x1	= F1 (x,v).
	Пример:
	1. Объект описывается системой:
	&	= −3x2 + 2u,
	x1	= −3x2 + 2u,
	&	= −x1 − 2x2 −u.
	x2	= −x1 − 2x2 −u.
	Проверим реализуемость условия:
	&	= F1 = x1 + x2 + v,
	x1	= F1 = x1 + x2 + v,
	&	= F2 = −x1 + x2 − 2v.
	x2	= F2 = −x1 + x2 − 2v.

Приравняем первые уравнения между собой и определим u:

− 3x2 + 2u = x1 + x2

+ v,

u =

x1 + 2x2 +

F2 = x2 = −x1 − 2x2

−

− 2x2

−

v = −

x1 − 4x2

−

Из последнего выражения видно,

что желаемая функция F2 при заданной F1 не совпадает со

вторым выражением желаемой x&2 , следовательно требуемое условие не реализуемо.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке Кошкин Ю.Н. Основы теории управления. Лекции для студентов

#
02.05.2014543.42 Кб104tau_1.pdf
#
02.05.2014909.77 Кб94tau_2.pdf
#
02.05.20141.72 Mб106tau_3.pdf
#
02.05.2014807.35 Кб95tau_4.pdf
#
02.05.2014777.29 Кб92tau_5.pdf
#
02.05.2014771.74 Кб93tau_6.pdf
#
02.05.2014788.43 Кб94tau_7.pdf