Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Теория автоматического управления

Файл:

Кошкин Ю.Н. Основы теории управления. Лекции для студентов / tau_6

.pdf

Скачиваний:

108

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

771.74 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Связь критерия Попова с критерием Найквиста

f(x)
			k
		g
	t
c
r
a			tg	h
			tg	h
			arc		x
					x
Рис.159

Если для нелинейности, лежащей в секторе (0;k) произведем линеаризацию в виде y = hx (рис.159), то введя такое звено в

частотную характеристику Попова, получим точный аналог критерия Найквиста. Только критической точкой, которую не должна охватывать частотная характеристика Попова будет точка с

координатами (− h; j0).

Приближенные методы исследования нелинейных систем

1. Метод гармонической линеаризации

(гармонического баланса, описывающих функций, малого параметра)

Наиболее широкое применение для исследования нелинейных САУ, порядок которых выше второго (n > 2), получил приближенный метод гармонической линеаризации основанный на частотных методах

(как в линейных системах).

Метод гармонического баланса был развит Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым в 1934 году для механических систем. Применительно к САУ этот метод разработан Л.С.Гольдфарбом, Е.П.Поповым и др в 1940 году.

Основная идея метода сводится к следующему:

Пусть замкнутая нелинейная система состоит из последовательно включенных нелинейного звена

(НЗ) и устойчивой или нейтральной линейной части (ЛЧ) (рис.160).

Φ(ε)

К такой структуре сводятся большинство

g(t)

ε(t)

y(t)

x(t)

нелинейных систем, включающих в себя один

НЗ

ЛЗ

нелинейный элемент.

Полагаем, что в системе существуют

автоколебания, амплитуду и частоту которых

рис. 160

необходимо определить.

Полагая g(t) = 0, будем искать выходную

величину системы (входная величина нелинейности) в виде:

x = A sinωt ,

(1)

где A – амплитуда автоколебаний;
ω – частота автоколебаний.
Отметим, что в действительности автоколебания в нелинейных системах всегда несинусоидальны,
т.к. их форма искажается нелинейным звеном. Поэтому область применения метода ограничивается
теми системами, где автоколебания на выходе нелинейного звена достаточно близки (1). Для того, чтобы
это условие выполнялось, линейная часть системы должна практически являться фильтром низких
частот и не пропускать высшие гармоники автоколебаний.
Действительно, если амплитудно-частотная характеристика ЛЧ системы имеет вид (рис.161).
AЛЧ		Если частота автоколебаний равна ω1, то как видно из рисунка,
A1		ЛЧ является фильтром НЧ, т.к. уже вторая гармоника	частоты
		2ω1 практически не проходит на вход НЗ.

		Последнее предположение носит название гипотезы фильтра
		и выполнение этой гипотезы является необходимым условием
	ω	гармонической линеаризации.
ω1	2ω1	Допустим, для определенности, что НЗ – есть реле с зоной
Рис.161		нечувствительности и гистерезисом (рис.162).

		115

	y				y =Φ(x,px), такая				запись нелинейной функции пока-
					y =Φ(x,px), такая				запись нелинейной функции пока-
	2		1						dx
	2		1	ε(-x)	зывает, что при px = dt > 0 y изменяется по линии 1.
				ε(-x)	зывает, что при px = dt > 0 y изменяется по линии 1.
1	2					Если на входе нелинейности имеем гармоническую
					функцию вида (1) (рис.162), то на выходе получим сигнал
						y =Φ(Asinωt,Aω cosωt),				(2)
					представляющий собой прямоугольные импульсы (рис.163).
y	t					Разложим уравнение (2) в ряд Фурье. Так как
	t					Разложим уравнение (2) в ряд Фурье. Так как
	Риc.162					линейная		часть системы пропускает только		основную
	Риc.162					гармонику, то и ограничиваемся первыми членами ряда
						гармонику, то и ограничиваемся первыми членами ряда
					t	Фурье:
						y = asinωt + bcosωt ,				(3)
							1	2π
						где a =	1	∫Φ(Asinωt, Aω cosωt)sinωtdωt,
							π	0
								0
	Риc.163					b =	1	2π
						b =	1	∫Φ(Asinωt, Aω cosωt)cosωtdωt		–
							π	0
								0
соответствующие коэффициенты ряда Фурье для периодической функции без постоянной
составляющей.
Из выражения (1)						x
						x				(4)
					sinωt = A .					(4)
					sinωt = A .
Дифференцируя (1)		px = Aω cosωt , получим

			1								(5)
		cosωt = Aω px .									(5)
		cosωt = Aω px .
Подставляя (4) и (5) в уравнение (3), получим
	a	b									(6)
	y = A x +	Aω px = q(A)x + q′(A)px ,									(6)
	y = A x +	Aω px = q(A)x + q′(A)px ,
где q(A) = Aa ; q′(A) = Abω – гармонические коэффициенты усиления нелинейного звена.
Отметим, что:
1. Для однозначных нелинейных характеристик q′(A) = 0 и уравнение (6) принимает вид:
			y = q(A)x;								(7)
2. Для петлевых характеристик гистерезисного типа величина					q′(A)	всегда отрицательна,					что
эквивалентно запаздыванию при работе этого НЗ.
Физический смысл гармонической линеаризации [уравнение (6) и (7)] заключается в том, что
нелинейное уравнение (2), ограничиваясь первой гармоникой на выходе НЗ при гармоническом сигнале
Φ(x)			на входе можно заменить уравнениями (6) или (7).
			Графически однозначные нелинейные зависимости y =Φ(x)
a			заменяются	прямыми	линиями		с	углом		наклона,
a			пропорциональным амплитуде входного сигнала A (рис.164).
			пропорциональным амплитуде входного сигнала A (рис.164).
ctg	q	x	В результате гармонической линеаризации получаем не
ar			чисто линейное звено (как после линеаризации при методе
	A		чисто линейное звено (как после линеаризации при методе
	A		малых отклонений), а своеобразное линейное звено,
			коэффициент усиления которого в общем случае зависит от
			амплитуды A и частоты ω				входного		сигнала.		Для
			однозначных характеристик НЗ коэффициент усиления
Риc.164			зависит от амплитуды A входного сигнала.
Риc.164			Передаточная функция гармонически линеаризованного
звена тогда может быть определена как			Передаточная функция гармонически линеаризованного
звена тогда может быть определена как

116

y(p)

(8)

WH = x(p) = q(A) + q′(A).

Если передаточная функция линейной части системы WЛ (p), то передаточная функция всей

системы в разомкнутом состоянии по правилам линейной теории имеет выражение

Wp (p, A) =WЛ (p)WH (A),

(9)

а характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы на основании (9) можно

записать

1+Wp (p, A) =1+WЛ (p)WH (A) = 0.

(10)

По уравнению (10), подставляя в него p = jω , можно определить параметры автоколебаний A0 и

ω0 .

Подставим в (9) p = jω и запишем его в виде комплексного числа

U(A,ω) + jV(ω,A) = 0.

(11)

Комплексное число равно нулю, когда и вещественная и мнимая части равны нулю.

Из (11) получим систему

U(A,ω) = 0,

(12)

V(A,ω) =

Решая (12) находим параметры автоколебаний (если они существуют): амплитуду A0

и частоту ω0 .

По уравнению (10) можно, применяя любой из известных методов линейной теории, исследовать

устойчивость автоколебаний нелинейной системы. Наиболее широкое распространение в ТАУ имеют

методы Л.С.Гольдфарба и Е.П.Попова.

Критерий Гольдфарба

Л.С.Гольдфарб предложил графическое решение характеристического уравнения гармонически

линеаризованной нелинейной системы частотными методами.

Подставляя в (10)

p = jω , перепишем его (рис.165)

W ( jω) = −

1 .

(13)

WH (A)

ω4

ω=∞

ω=0

ω4

>ω3

>ω2 >ω1,

Α1

1 Α2

A4 > A3 > A2 > A1.

WН(A)

Α3

WЛ(jω)

ω3

ω1

ω2

Α4

Рис.165

При этом возможно:

Кривые

W (jω) и −

не пересекаются – автоколебания в системе не возможны.

WH (A)

Кривые

W (jω)

−

касаются,

–

параметры

системы

имеют

критические

WH (A)

(бифуркационные) значения.

Кривые

W (jω)

−

пересекаются,

–

точки

пересечения

соответствуют

WH (A)

ω0 , определяются

автоколебаниям, параметры

которых

и частоту

непосредственно из

графика. Однако автоколебания будут иметь место в реальной системе, если они устойчивы.

117

Определение: Если частотная характеристика линейной части системы WЛ (jω) с ростом ω охватывает

точку пересечения WЛ (jω) и − WH (A) с отрицательным приращением амплитуды характеристики

− WH (A) и не охватывает с положительным приращением, то найденные автоколебания будут

устойчивыми.

В нашем примере (рис.165) в точке 2 будут устойчивые автоколебания – по кривой WЛ (jω)

определяется ω0 , а по кривой − WH (A) определяется A0 .

Следовательно на входе нелинейного звена (выход системы) имеем устойчивые автоколебания в виде

x = A0 sinω0t .

(14)

Выходную координату ( y) нелинейного звена легко построить графически по виду нелинейной характеристики y =Φ(x) .

Критерий Гольдфарба нельзя применять, когда под знаком нелинейной функции имеется две или более переменных, во первых, и во-вторых, когда несколько нелинейных элементов нельзя заменить одним эквивалентным нелинейным звеном.

Определение устойчивости автоколебаний по алгебраическим критериям (метод Е.П.Попова)

Алгебраические критерии используются в тех случаях, когда аналитически или графически удается решить систему уравнений (12), т.е. определить A0 и ω0 .

После этого задаваясь амплитудой A1 = A0 + ∆A, где ∆A – малое приращение амплитуды, по

характеристическому уравнению гармонически линеаризованной нелинейной системы (10) проверяется устойчивость по любому известному критерию на устойчивость.

При этом возможно:

1.Система неустойчива – следовательно амплитуда сигнала возрастает A > A1 .

2.Система устойчива – следовательно амплитуда сигнала уменьшается A< A1 → A0 .

Задаемся A2		= A0 − ∆A, тогда:
1.	система устойчива, следовательно амплитуда сигнала уменьшается A < A2							→ 0.
2.	система неустойчива, следовательно амплитуда сигнала возрастает A > A2							→ A0 .
Таким образом, если при A1 система устойчива, а при A2 система неустойчива, то автоколебания в
системе с A0 ,ω0		устойчивы (рис.166).
		A				во
						во
					ойчи
				ст
		A1	неу
		A1
		+∆A	устойчиво
		−∆A			чиво
			той
			неус
		A0 A2	ус
			ус
			той
					чиво		t
		0					t
		0
				Рис.166

Пример нахождения автоколебания релейной САУ

118

W =

WЗ =

(T2 p+1)p

T1p+1

g(t)

Φ(x)

xос

kос

рис. 167

При g(t) = 0,

= −x4 , тогда из рис.167:

‚‰Њ’”1:(T p +1)x

= −k

x ,

4 4

‚‰Њ’”2:x3

= Φ(x),

(1)

x = x2 − kocx4,

‚‰Њ’”3:(T p +1)px = k

x .

2 3

Ищем решение системы относительно входной координаты нелинейного звена x в виде (рис.168)

x = Asinωt,

(2)

Φ(x)

тогда

на

выходе

нелинейного

элемента будем иметь периодическую

прямоугольную функцию (рис.169).

2π

-C

Разложим

эту

функцию в

ряд

Фурье, тогда получим

-C

Риc.169

Риc.168

∞

x3 = Φ(x) = ∑Bi sin(iωt + β1),

(3)

i=1

где Bi и βi

амплитуда и фаза i -й гармоники.

Отметим, т.к. Φ(x)

– нечетна и однозначна, то гармоники i

– нечетны (i = 1,3,5,...).

Сигнал (3), проходя через линейное звено 3, получает вид

∞

x4 = ∑

Wзi

Bi sin(iωt + β1

+ϕi ) ,

(4)

где

Wзi

i=1

;

p(T2 p+1)

= iω T2i2ω2

p= jiω

= −

π − arctgT iω .

Из формулы (4) видно, что амплитуды гармоник выше первой не пропускаются линейным звеном 3,

т.е. линейное звено 3 является фильтром НЧ. Поэтому координату

x4 можно считать практически

близкой к синусойде, частота которой равна частоте 1-й гармоники

x4 ≈

Wз1

B1 sin(ωt + β1 +ϕ1).

(5)

следовательно, координаты x2

и x из уравнений (1) тоже будут близки к синусойде.

Таким образом, берется только первая гармоника выражения (3)

=Φ(x) ≈ B1 sinωt ,

(6)

(β1 = 0, т.к. Φ(x)–нечетна и однозначна),

где

119

2π

B1 =

∫Φ(Asin

ωt)sinωtdωt =

2π

∫Csinωtdωt

∫(−C)sinωtdωt =

Гармонический коэффициент линеаризации тогда, учитывая (2), (6) и (7)

sinωt

q(A) =

Asinωt

πA

Уравнение нелинейного звена после гармонической линеаризации

x3 = q(A)x.

Решая систему уравнений (1) с учетом (9) вместо x3

=Φ(x) относительно координаты

T T p3 + (T + T )p2

+ (1+ T k

q)ρ + (k

+ k

)qk

= 0.

1 2

Подставляя в (10) p = jω , разбиваем его на действительную и мнимую части:

(k1 + koc)k2q −

(T1 + T2)ω

= 0,

(1+ Tk

q)ω −TTω3

= 0.

1 2

Из 1-го уравнения (11), учитывая (8) найдем ω 2 :

ω2 =

4C(k1 + koc )k2

πA(T + T )

Из 2-го уравнения (11) с учетом (12) и (8) получаем

A0 =

4Ck2T1(T2k1 − T1koc )

π(T1 + T2 )

тогда ω 2 с учетом (13)

k1 + koc

ω2

T (T k

− T k

)

Далее проверяется устойчивость полученных автоколебаний.

(7)

(8)

(9) x, получим

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

2. Графо-аналитические методы построения переходных процессов

1. Численно-графический метод Д.А.Башкирова (1948 г.)

Этот метод является наиболее универсальным, так как он может быть применен как для построения кривых переходного процесса, так и кривых процесса регулирования или слежения при любых возмущающих воздействиях. Его можно применить: к линейным системам, к линейным системам с запаздыванием, к нелинейным системам с любым видом нелинейной характеристики.

Исходные положения метода: Допустим, имеем кривую переходного процесса x = f (t) в виде

экспоненты (рис.170)
x
C	F	E	D
C	L
	L	B
	∆x	B
	∆x
	A
		∆t	t
	t	t+∆t	t
	t	t+∆t
		Рис.170

x = С−Сe−	t
	T	,	(1)
1
где T – постоянная времени переходного процесса;
C1 – постоянная, зависящая от начальных условий.
Докажем, что проекция секущей			FD = Tc , проведенной

через любые две точки экспоненты равноотстоящие друг от друга по времени ∆t является постоянной.

Возьмем две произвольные точки на экспоненте A и B через момент времени ∆t, причем A соответствует произвольному моменту времени t . Проведем секущую и найдем длину её проекции FD.

120

Так как треугольник BED подобен треугольнику AFD, а треугольник ALB – треугольнику AFD,

то можно записать, что
	ED	BE	(2)
	FD =	AF ,	(2)
	FD =	AF ,
	AL	BL	(3)
	AF =	DF .	(3)
	AF =	DF .

Из графика

AF = C − x(t) = C − C + C e−	t	= C e−		t
AF = C − x(t) = C − C + C e−	T	= C e−		T	,
1			1
BE = C − x(t + ∆t) = C e−		t+∆t
BE = C − x(t + ∆t) = C e−		T	,
1

ED = FD − FE = FD − ∆t .

Подставляя (4), (5) и (6) в выражение (2), получим:

T − ∆t		C e−	t+∆t
T − ∆t		C e−		T
c	=	1			,
T	=	C e	−	t	,
				t

c				T
	1

(4)

(5)

(6)

T − ∆t = T e−		∆t	;	T (1− e−		∆t	) = ∆t ,
		T				T
c	c		∆t	c
	Tc =				.		(7)
				∆t
	1− e−			T

Из выражения секущей Tc (7) видно, что её длина не зависит от времени t . Кроме того выражение

(7) для любой заданной экспоненты связывает между собой длину проекции секущей Tc с постоянной

времени T .

Если знаменатель выражения (7) разложить в ряд Тейлора и ограничиться только линейными членами ряда, то получим такую зависимость

Tc ≈ T +	∆t .	(8)
	2

Подставляя в формулу (2)

AL = ∆x,

AF = C − x(t),

BL = ∆t ,

∆t DF = Tc = T + 2 ,

получим

∆x	C − x(t)		(9)
∆t =
	T +	∆t .
	T +	∆t .
		2

Уравнение (9) является исходным при построении переходных процессов методом Башкирова. Если в правой части исходного дифференциального уравнения вместо C будет произвольная

функция времени, то выражение (9) будет иметь вид

∆x	f (t) − x(t)		(9’)
∆t =
	T +	∆t .
		∆t .
		2

Примеры построения переходных процессов

121

методом Башкирова

(10)

T dt + x =

f (t) .

Начальные условия:

при t = 0, x(0) = x0 .

Порядок графического решения:

1. Заданная кривая

f (t) сдвигается по оси абсцисс на величину T (рис.171).

T+

∆t

)-x(t)

∆

f(t+

∆x

∆t

Рис.171

2. Кривая

f (t) заменяется ступенчатой функцией,

так чтобы внутри каждого участка

∆t она

∆t

имела постоянное значение, равное f t +

, тогда для каждого участка тмеет место формула

∆x

f (t +

∆t

) − x(t)

(11)

∆t

T +

∆t

3. По уравнению (11) производится построение переходного процесса. Известную точку кривой переходного процесса x(0) = x0 соединяем с точкой D. Пересечение этой прямой с ∆t является

новой точкой x(∆t) (точка B ) искомого ПП. Действительно, треугольник AFD имеет тот же вид, что и на рис.171 к исходному положению метода. Затем точка B соединяется с точкой H

и т.д.

4.Полученные таким образом точки принадлежат (приближенно) искомому ПП. Очевидно, что точность решения возрастает с уменьшением ∆t.

			dx						(12)
	T		dt = f (t)						(12)
	T		dt = f (t)
Начальные условия: при t = 0,	x(0)	= x0 .
Уравнение (12) приближенно можно переписать, как и ранее.
∆x	∆t			∆x		f (t +	∆t	)	(13)
∆x	∆t			∆x		f (t +	2	)	(13)
T ∆t = f (t + 2		) или		∆t	=
T ∆t = f (t + 2		) или		∆t	=	T

Формула (12) является основой для построения переходного процесса дифференциального уравнения (12).

Порядок графического решения:

122

∆t

1. Заданная кривая f (t) смещается по оси абсцисс на величину T − 2 (рис.172).

2.Кривая f (t) заменяется, как и ранее, ступенчатой функцией.

3.По уравнению (13) производится построение переходного процесса. Известную точку кривой ПП

x(0) = x0 соединяем с точкой D, которая получается переносом точки D′ кривой f (∆t) на
					2
величину x0 вверх.	Точка пересечения прямой с отрезком		∆t даст значение x(∆t). Затем
полученную точку	x(∆t) (точку B ) соединяем	прямой с	точкой H, которая		получается
переносом точки H′	на известную величину x(∆t)	и т.д.			f (t).
4. Поступая аналогично строится полностью кривая ПП для уравнения (12) при любых					f (t).
x	f
				f(t)

x(t)∆H’

t)x(∆

D’

∆t

T-

∆t

Рис.172

d2 x

+ a1

+ a2 x =

f (t).

(14)

dt2

Начальные условия: при t = 0, x(0) = x0 ;

x′(0) = x0′.

Преобразуем уравнение (14)

a0a1 d2 x

a1 dx

+ x =

f (t),

a1a2 dt2

обозначим

, T

f (t) =

f (t),

тогда

T T

d2 x

+ T

+ x = f

(t).

2 dt

Перепишем (15) в виде двух уравнений первого порядка:

			dx	= x1
T2					,
			dt
		dx
T		1		+ x	=	f	(t)− x.

	1		dt	1		1

Видно, что уравнения (16) аналогичны ранее рассмотренным примерам 1 и 2.

Порядок графического решения:

Графическое построение вмещает в себя два этапа:

1.По второму уравнению (16) – аналогичное примеру 1.

2.По первому уравнению (16) – аналогичное примеру 2.

1.По второму уравнению (16), аналогично (11) можно записать

(15)

(16)

123

∆x1

f1(t

∆t) − x(t +

∆t) − x1(t)

(17)

∆t

2. для первого уравнения (16) имеем

+ 2

x1(t + ∆t)

∆x

(18)

∆t

3. Кривая f1 (t)

заменяется, как и ранее, ступенчатой функцией (рис.173).

− ∆t

Оси

ординат

сдвигаются

по

оси

абсцисс

соответственно

на

величины T

∆t

−

+T ).

По уравнениям (17) и (18) производится построение требуемого переходного процесса.

Известную точку кривой

x1, определяемой из начальных условий как

x1 (0) = T2x0′ , соединяем

прямой с точкой

D ,

которая определяется вычитанием f

(t + ∆t) − x(t + ∆t). (Для начальной точки

(∆t) − x

(∆t)

∆t) = x

∆t ,

где

+ x′

т.к.

∆t

принимается малым и можно допустить,

что на

отрезке ∆t

функция x изменяется по своей касательной). Пересечение этой прямой с отрезком ∆t

даст

нам точку

→ x

(t).

Прибавляя к

∆t

отрезок x

получим точку

Соединяя точку

D с

точкой x(0) прямой, получим точку B , соответствующего x(∆t) и т.д.

)

∆t 2

f1(t)

(0)

∆t

T2- ∆2t

Рис.173

Построение переходного процесса в целом для нелинейной системы вида (рис.174) показано на

рис.175:

f(t)

∆x

x2(∆t)

T1 p +1

x1(∆t)

T2 p +1

рис.174

124

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Кошкин Ю.Н. Основы теории управления. Лекции для студентов

#
02.05.2014543.42 Кб120tau_1.pdf
#
02.05.2014909.77 Кб110tau_2.pdf
#
02.05.20141.72 Mб121tau_3.pdf
#
02.05.2014807.35 Кб111tau_4.pdf
#
02.05.2014777.29 Кб107tau_5.pdf
#
02.05.2014771.74 Кб108tau_6.pdf
#
02.05.2014788.43 Кб110tau_7.pdf