Нерівності із змінною

Уперше з нерівностями, що містять змінну, діти ознайомлюються в Г класі, де такі завдання пропонуються з використанням умовного позначення, яке часто називають «віконцем». (Рівності такого виду згадувалися вище). Так, на сторінці 47 підручника для І класу вміщено, напри­клад, нерівності виду: 5 + 3 < □. Діти мають підставити у «віконце» такі числа, щоб запис був правильним. В ана­логічних вправах у II класі, що розглядаються після введення букв, змінна позначається будь-якою буквою латинського алфавіту.

Нерівності в початковій школі розв'язують тільки методом добору». Як правило, і завдання формулюються

108

так: «Підбери таке число, при якому дана нерівність буде правильною». Досить часто пропонується кілька значень змінної, з них учні мають вибрати ті, при підставлянні яких дана нерівність справджується.

Опрацювання нерівностей у початковій школі здебіль­шого спрямоване на формування поняття про змінну і з погляду навчання розв'язувати нерівності має пропе­девтичний характер.

Рівняння

Характеризуючи зміст навчання в початкових класах, ми зазначали, що перше ознайомлення з рівнянням відбувається в І класі, де воно вводиться як назва рів-ностей виду: 3 + х = 8, 9 — х — 2, х — 6 = 3.

У процесі розв'язування цих рівнянь слід поступово сформувати в дітей поняття рівняння як рівності, яка містить невідоме число, позначене буквою. Вони мають зрозуміти, що кожного разу, коли ми маємо справу з рів­нянням, завдання полягає в тому, щоб знайти значення цього невідомого числа, при якому рівність буде пра­вильною. Значення невідомого в ході розв'язування рів­нянь в І—III класах, як правило, визначають на основі знання зв'язку між компонентами і результатами дій.

Поряд із цим (основним для початкових класів) спосо­бом розв'язування рівнянь у ряді випадків можна вико­ристовувати й інші, що грунтуються на застосуванні відо­мих дітям елементів арифметичної теорії. Наприклад, рівняння виду х • 17 = 17 • 35 можна розв'язати без вико­нання обчислень на основі знання переставної властивості добутку. Аналогічно вже у І класі рівняння виду 26 + + х = 26 + 18 можна розв'язати на основі простого міркування:

«Якщо до рівних чисел додали порівну, то й вийде порівну. Отже х— 18».

Згідно з вимогами програми складність розглядуваних рівнянь від класу до клаф, з року в рік зростає. До­кладно методика роботи над різноманітними рівняннями розглядається під час висвітлення опрацювання кожної теми (§ 27, 37, 51, 52).

Значну допомогу в організації роботи над задачами вчителеві надасть використання спеціальних діафільмів» які містять великий, різноманітний і цікавий матеріал, що доповнює підручник.

§ 27 Перші кроки у формуванні понять «рівність», «нерівність», «рівняння»

З відношеннями рівності і нерівності діти вперше зустрі­чаються вже на перших уроках під час порівняння двох множин предметів, установлюючи взаємно однозначну відповідність між ними, їх елементами ще до лічби пред­метів. Уже під час виконання таких вправ вони спостері­гають, що коли в одній з порівнюваних множин вияв­ляється більше елемевхів, ніж у другій (внаслідок уста­новлення відповідності деякі елементи цієї множини вияви­лися без пари в другій множині), то це означає, що в другій з порівнюваних множин елементів менше, ніж у першій.

Після пов'язування таких практичних дій з множинами з лічбою предметів відповідні вправи вже безпосередньо підводять дітей до розгляду питання про рівність і нерів­ність чисел..

У ході дальшої роботи під час вивчення теми «Ну­мерація чисел І — 10» на основі аналогічних практичних вправ першокласники засвоюють кількісні відношення між двома сусідніми числами ряду, усвідомлюють послідов­ність чисел у натуральному ряді як таку, в якій кожне наступне число на 1 більше від попереднього. Поряд з тим вони засвоюють, що кожне число в ряді більше будь-якого з тих, що йдуть при лічбі перед ним, і менше за будь-яке, що зустрічається в ряді після нього. Таким чином, вони вчаться порівнювати числа вже без опори на дані безпо­середнього досвіду, без опори на предметне унаочнення, лише на основі знання, яке з двох порівнюваних чисел зустрічається при лічбі раніше від іншого (воно менше, а інше — більше). Вже під час вивчення чисел 1 і 2 діти ознайомлюються зі знаками відношень і вправляються і/ запитуванні й читанні числових рівностей і нерівностей виду 1 < 2, 2 > 1, 3 = 3.

З числовими рівностями діти зустрічаються і тоді, коли записують, як можна утворити кожне 'з розглядуваних чисел внаслідок додавання або віднімання двох інших. Це рівності виду: 3 + 1=== 4, 4 — 1 = 3 і т. п.

Однак на цьому етапі навчання такі записи ще не тлу­мачать як рівності. Поступово проводиться підготовка до такого їх розуміння.

У темі «Нумерація чисел 1 — 10» діти фактично зустрі­чаються і з рївностями, що містять невідоме число (у запи­сах виду: 3 + □ = 5, □ — 1=6 тощо). В цей час неві­доме знаходять на основі знання відповідних випадків складу чисел.

При роійпяді задач на знаходження суми й остачі, а також на збільшення (зменшення) даного числа на кілька одиниць, з'ясовується, що, додаючи до даного числа 1 або кілька одиниць, ми тим самим збільшуємо його, а відні­маючи — зменшуємо. Це знання згодом використовують під час розгляду питання про те, як дану нерівність пере­творити на рівність. Ще на перших уроках під час вико­нання практшних вправ з множинами предметів зверта­лась увага учнів на те, як можна зрівняти дві нерівні за числом елементів множини (вилучити «зайві» чи додати «ті, яких невистачає»). Це допомагає також розглянути питання, як зрівняти ліву і праву частини даної нерівності (відповідні терміни при цьому не використовують).

Розглядаючи числа, здобуті внаслідок додавання, і від­повідні випадки розкладання числа на два доданки (складу числа), діти записують: 4 + 2 = 6, 6 = 4 + 2 тощо (М. 1, с. 39 та ін.). Такі отграви, хоч під час їх виконання і не використовують жодних спеціальних термінів, підготов­ляють першокласників до формування поняття рівності, властивості симетричності відношення рівності між нату­ральними числами.

Постійно складаючи найтїростіші числові вирази і об­числюючи їх значення, діти поки що не вживають відпо­відних термінів, але нагромаджений досвід підготовляє їх до порівняння виразів, а згодом — і до виконання дій над виразами, до роботи з виразами складнішої структури.

На сторінці 59 підручника вводиться назва для виразу виду 3 + 2 — «сума».

Порівняння виразів спочатку пропонується дітям як порівняння двох заданих «прикладів». Так, після об­числення сум 5 + 3*=8і5 + 4 = 9 пропонуємо їм з'ясу­вати, чим подібні й чим відрізняються ці приклади, яка із знайдених сум більша й чому.

Порівняння виразів використовується і під час озна­йомлення дітей з переставною властивістю суми. Вонц

порівнюють при цьому приклади виду; 5+1 і 1+5,

2 + 3 і 3 + 2. Обчисливши значення цих виразів, учні роблять потрібний висновок і записують: 2 + 3 = 3 + 2.

Розглядаючи випадки виду а Щ 2, діти ознайомлюються

3 порівнянням числа і виразу та з відповідними записами (М. 1, с. 43). Порівнюють на основі обчислення значення виразу і зіставляють це значення з даним числом: «8 — — 2 < 8, оскільки 6 < 8». Однак уже під час розгляду цих перших прикладів можна звернути увагу учнів на те, що відповісти на запитання, що більше: 8 чи 8 — 2, можпа_$ не обчислюючи різниці, а міркуючи, скажімо, так: якщо від 8 відняти 2, то стане менше, ніж 8, дане число внаслі­док віднімання від нього кількох одиниць зменшиться, отже, 8 — 2 менше, ніж 8. Спочатку такі міркування вико­нуються вже після того, як виконане порівняння за допо­могою обчислень, але згодом вони можуть стати вихід­ними, а знайдений на їх основі висновок і в цьому разі перевірятиметься обчисленням.

На сторінці 65 підручника діти ознайомлюються з порів­нянням двох виразів. Водночас розглядаються випадки рівності і нерівності двох виразів. Як і при порівнянні числа і виразу, спочатку обчислюють і порівнюють знайдені числа (2 + 3 = 4 + 1, оскільки 5 = 5, або 2 + 3 > > 5 — 1, оскільки 5 > 4). Однак, порівнюючи два вирази, діти часто «вгадують» відповідь, спираючись на інтуїцію. Наприклад, порівнюючи 6 + 2 і 6 + 3, дитина впевнено твердить, що 6 + 3 більше, ніж 6 + 2, і пояснює, напри­клад, так: «Було порівну, де більше додали, там і стало більше». Такий підхід до розв'язування треба всіляко схвалювати, стимулюючи спроби порівняти вирази до об­числення їх значень, однак щоразу такий здогад слід пере­віряти за допомогою обчислень.

Ознайомлюючи дітей із зв'язком між сумою і доданками, з визначенням одного з доданків за даними сумою і другим доданком, вводимо позначення невідомого числа за Допо­могою букви х («ікс»), дітям повідомляється, що запис виду 3 + х « 9 називається рівнянням, що х тут по­значає те невідоме число, яке треба додати до 3, щоб ви­йшло 9. Розв'язати рівняння — означає знайти невідоме число.

Рівняння на цьому етапі навчання читають так: «Сума чисел 3 і х дорівнює 9. Знайти х»₉ «Якщо до трьох додати невідоме число х, буде 9. Яке це число?» або: «Яке число треба додати до 3, щоб вийшло 9?»; «До якого числа треба додати 5, щоб вийшло 6?» тощо.

РІа сторінці 62 підручника подано зразок розв'язання рівняння.

Роботу над новим матеріалом на уроці, присвяченому ознайомленню з рівнянням і його розв'язуванням, можна провести так.

Почавши з повторення того, як знайти невідомий дода­нок, розв'язавши 1 дітьми кілька заздалегідь записаних на дошці прикладів з «віконцями», в яких треба знайти перший і другий доданки, можна перейти до роботи з під­ручником. Розглядаючи таблицю, діти мають відповісти на запитання: що відомо в першому стовпчику таблиці (доданок, доданок, сума) і що відомо в другому стовпчику (сума і один доданок)? Що невідомо (другий доданок)? У таблиці замість нього залишена порожня клітинка. «Коли ми записували такі приклади, то теж замість неві­домого доданка креслили порожню клітинку. Але,— гово­рить учитель,— у математиці невідомі числа позначають буквами, причому неукраїнськими. Так і ми з вами надалі позначатимемо невідоме число буквою, яка пишеться так, як українська буква дг, але називається «ікс». Наприклад, коли треба записати, що до 5 додали якесь невідоме число і вийшло 7, то раніше це мало вигляд: 5 + □ = 7, а тепер замість «віконця» (стирає його з дошки) запишемо букву х. Читається цей запис так: «Якщо до 5 додати х, то буде 7», або: «Сума чисел 5 і х (х — теж число, тільки нам ще невідоме) дорівнює 7». 5 + х = 7 — це рівняння. В цьому рівнянні невідомий другий доданок, Визначити цей дода-нф, знайти його — означає розв'язати рівняння.

Пригадайте, як можна знайти невідомий доданок (діти повторюють правило). Запишемо: х = 7 — 5. Ми записали, як знайти х, тепер виконаємо віднімання і запишемо, чому дорівнює х. Запис: х — 2. Ми знайшли, чому дорівнює х. Перевіримо, чи правильно його визначили. Для перевірки правильності розв'язку рівняння треба знайдене число підставити в рівняння на місце невідомого і виконати об­числення. Якщо до 5 додати 2, буде 7, Ліворуч від знака рівності записана сума чисел 5 і 2, а праворуч — число 7. З'ясуємо, чи правомірно поставити між ними знак «дорів­нює». Обчислимо суму, записану ліворуч від знака рівності (5 4-2 = 7). Праворуч від знака маємо теж 7. Отже, роз­в'язали рівняння правильно».

Аналогічно розбирається розв'язування рівнянь, зразки яких наведені в підручнику.

На наступному уроці корисно ознайомити дітей із скла­данням рівняння за текстовою сюжетною задачею на при­кладі задач різних видів. Покажемо, як це можна зробити.

Розв'язавши два-три рівняння (водному з них невідомий перший доданок, в іншому — другий), можна запропону­вати дітям записати рівняння під диктовку. Учитель диктує; один учень записує це рівняння на дошці, всі інші — у своїх зошитах. «Якщо до числа 6,— говорить учитель,— додати невідоме число, то буде 8. Як ви запи­сали?» Діти читають на дошці запис,. перевіряють за ним свої записи. Розв'язують рівняння самостійно, викори­стовуючи зразок, вміщений на сторінці 62 підручника.

Потім учитель пропонує наступну задачу: «Я задумав число. Якщо до нього додати 3, то дістанемо б. Яке число я задумав? Запишіть. Складіть рівняння за цією задачею, позначаючи буквою х задумане число». Він ще раз повторює текст задачі. Записи перевіряються колективно.

Наступні задачі: 1) «Перший доданок не відомий, дру­гий 3. Сума дорівнює 7. Знайти невідомий доданок».

2) «Перший доданок 7, другий 1. Сума невідома»» (Рівняння, складене за цією задачею, матиме вигляд! 7 + 1 — х). Щоб його розв'язати, достатньо знайти суму чисел 7 і 1. Аналогічно для задачі на знаходження остачі] щоб дізнатися, яке число задумано, треба від 8 відняти 2. Яке число задумано? х = 8 — 2; отже, х = 6.

«Так чого ми навчилися сьогодні?»— запитує вчитель, підсумовуючи проведену роботу. Діти мають відповісти, що вони навчилися складати рівняння за різними задачами. Учитель наголошує, що рівняння можна скласти за будь-якою задачею.

З'ясувавши, що рівняння можна скласти за будь-якою задачею, учитель на наступних уроках час від часу має вправляти дітей у цьому, однак розв'язувати задачі можна і без складання рівнянь (у тому числі і задач на знахо­дження невідомих компонентів дій). Щоразу, коли вчитель захоче, щоб діти складали рівняння, він повинен цю вимогу обумовити. Якщо такої вказівки не зроблено, то кожний учень може записати розв'язання задачі і без складання рівняння.

Під час розв'язування як текстових задач на знахо­дження невідомого доданка, так і відповідних рівнянь на перших уроках розв'язок слід шукати не стільки на основі застосування правила знаходження невідомого доданка (його діти на цей час ще недостатньо усвідомили і засвоїли), скільки на основі унаочнення.

Так, на уроці, наступному за тим, на якому вводилися рівняння і пояснювалося їх розв'язування, відповідні вправи виконуються з використанням ілюстрацій, анало­гічних до вміщених на сторінці 63 підручника.

Пояснюючи малюнки, учитель говорить, що дощечкою закрито кілька чотирикутників, а скільки — невідомо. Тому на дощечці й написано х. Треба дізнатися, скільки їх закрито.

Слід обов'язково наочно пояснити спосіб розв'язу­вання: усього 9 чотирикутників, видно 6. Треба дізнатися, скільки закрито. Якщо від 9 забрати всі ті, які бачимо, то залишаться ті, що закриті. Треба від 9 відняти 6, зали­шиться 3; х = З,

Розв'язати текстову задачу (наприклад, № 4 на с. 64 підручника): «Біля хати 10 качечок і курочок. Качечок 8. Скільки курочок біля хати?»— можна і без складання рів­няння, але потім як додаткове завдання запропонувати скласти рівняння за цією задачею. Діти, порівнюючи обидва розв'язання, ще раз повторюють правило знахо­дження невідомого доданка.

Взагалі всі вправи, пов'язані із знаходженням невідо­мого доданка, на цьому етапі навчання слід використати як основу для формування відповідного узагальнення. Досвід показує, що передчасне використання правила як основи їх розв'язування на цьому етапі навчання, нерідко спричиняє формалізм у знаннях дітей. Учень має завжди розуміти, чому задача (рівняння) розв'язується за допомогою дії віднімання. Тільки після цього увагу першокласників слід звертати на те, що відомо (сума і один з доданків), що треба визначити (другий доданок), якою дією його знайшли (відніманням). Отже, правило може й повинно на "цьому етапі навчання частіше виступати як висновок, узагальнення вже виконаного розв'язування, а не як його основа. Це, звичайно, не означає, що дітям слід забо­роняти посилатися на правило в ході розв'язування. Треба, однак, щоразу перевіряти, наскільки свідомо вони це правило використовують, чи можуть пояснити, чому для знаходження одного з доданків доводиться від суми віднімати інший. Таке пояснення можна дати, використовуючи унаочнення або навівши простіший приклад: 3 + + 2 = 5, 5 — 2 = 3, 5 — 3 = 2,— коли від суми відні­маємо один з доданків, то дістаємо інший.

Зв'язок між результатами і компонентами дій — основа, на якій будується все дальше навчання дітей розв'язувати рівняння в початкових класах. Цьому питанню слід приді­лити серйозну увагу, з самого, початку створивши достатньо усвідомлену і міцну основу застосування відповідних знань.