Рівняння
Проаналізувавши виклад матеріалу у підручниках для третього класу М. Богдановича та Л. Кочиної, Н. Листопад ми дійшли висновку, що для оптимального роз'яснення цього матеріалу потрібно об'єднати позитивні сторони обох підручників, тоді виклад буде мати наступну форму".
- Ми вже знайомі з числовими рівностями. Якщо в числовій рівності одне із чисел замінити буквою, то дістанемо рівність із змінною, наприклад, х + 2 = 8. Змінна х тому і називається змінною, що замість цієї букви можна підставляти різні числа. Давайте спробуємо.
Учні пропонують різні числа і записують числові рівності, які при цьому утворяться із цієї рівності із змінною: 1 + 2 = 8; 2 + 2 = 8; 5 + 2 = 8; 6 + 2 = 8; 10+ 2 = 8 тощо. Утвореним записам учні дають назву: усі крім одного є неправильними числовими рівностями і лише запис 6 + 2 = 8- правильна числова рівність. Вона утворилася, коліт ми замість х підставили число 6.
Маючи справу з рівностями із змінною, ми часто дістаємо завдання дізнатися, яке число потрібно підставити замість букви, щоб одержати правильну числову рівність. У цьому випадку рівність із змінною називається рівнянням, а знайти таке числове значення букви означає розв'язати рівняння. У результаті ми дістанемо число, яке називають розв'язком рівняння, або коренем рівняння. Коренем рівняння х + 2 = 8 є число х = 6. Як ми це визначили? Методом добору чисел. Цей метод незручний, бо рівняння можуть бути такими, що важко дібрати потрібне число: х - 175 = 328; х • 40 = 1200; 128 : х = 16 і т. п. Тому існують способи визначення х на основі правил. Кожне рівняння має своє правило, в залежності від того, як називається невідомий компонент.
Розглянемо різні види рівнянь.
/. х + 4 = 10; 5 + х = 9.
У цих рівняннях невідомим є один із доданків. Як же знайти невідомий доданок? Щоб вивести правило, розглянемо приклади.
5+3=8 6+4=10 8-5 = 3 10-4 = □ 8-3 = 5 10-6 = П
Учні закінчують обчислення. Учитель запитує: що дістанемо, коли від суми віднімемо перший доданок? (Другий доданок.) Що дістанемо, коли від суми віднімемо другий доданок? (Перший доданок.) То як знайти невідомий доданок? (Потрібно від суми відняти відомий доданок.) А тепер на основі цього правила розв'яжемо рівняння 45 + х = 71. Який компонент тут невідомий? (Другий доданок.) А як знайдемо другий доданок? (Від суми віднімемо перший доданок.) Учитель показує, як правильно записувати розв'язання рівняння:
45 + х=71
х=71-45
х = 26
Отже, ми знайшли розв'язок рівняння, число 26. Ми можемо перевірити, чи правильно ми розв'язали рівняння. Якщо корінь 26 правильний, то при підстановці його замість х рівняння має перетворитися у правильну числову рівність. Давайте підставимо. Дістали числову рівність:
45 + 26 = 71.
Перевіримо, чи вона правильна. Для цього знайдемо значення виразу 45 + 26 і підставимо його у рівність. Дістали рівність 71 = 71, яка вочевидь є правильною. Отже, розв'язок 26 ми обчислили правильно. Кінцевий запис з перевіркою має вигляд:
45 + х = 71
х = 71 - 45
х = 26
45 + 26= 71
71 = 71
2.x-16= 79.
У цьому рівнянні невідомим є зменшуване. Виведемо правило знаходження невідомого зменшуваного. Для цього розглянемо приклади:
10-6 = 4 12-3 = 9
4 + 6=10 9 + 3 = 0
Що дістали, коли до різниці додали від'ємник? (Зменшуване.) То як знайти невідоме зменшуване? (Потрібно до різниці додати від'ємник.) А тепер за цим правилом розв'яжемо наше рівняння і виконаємо перевірку:
х - 16 = 79
х=79 + 16
х = 95 95-16=79
79= 79
3.94-х = 68.
У цьому рівнянні х є невідомим від'ємником. Виведемо правило знаходження невідомого від'ємника.
49-21= 28 52-13 = 39
49-28 = П 52 - 39 = □
Що від чого ми віднімали у прикладах під рискою? (Від зменшуваного віднімали різницю.) Що отримали? (Від'ємник.) Сформулюйте правило знаходження невідомого від'ємника:
щоб знайти невідомий від'ємник, потрібно від зменшуваного
відняти різницю.
А тепер розв'яжемо рівняння з перевіркою.
94-х = 68
х=94-68
х = 26
94 - 26 = 68 68 = 68
4.x-17 =51; 4-х = 60.
У цих рівняннях невідомими є множники. Розв'яжемо приклади.
3-6 = 18 12-6=72 18:6 = 3 72:12 = П
18:3 = П 72 : 6 = □
Що ми робили в прикладах під рискою? (Ми добуток ділили на один із множників і одержували другий множник.) Сформулюйте правило.
Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник. Розв'яжіть рівняння.
х-17=51 х = 51:17 х = З 3-17=51 51 = 51
5.х:13 = 4.
Тут невідоме ділене. Розглянемо приклади.
60 : 5=12 45:15 = 3
12-5=60 3-15 = П\
Яке правило можна вивести з цих зразків?
Щоб знайти невідоме ділене, треба частку помножити на дільник.
А тепер розв'яжемо рівняння.
х: 13 = 4 х = 4-13 х = 52 52:13 = 4 4 = 4
6. 800: х = 40.
Невідомим є дільник. Розглянемо приклади.
42:6= 7 56: 7=8
42:7=П 56:8 = П
Яке правило можна вивести, співставляючи приклад над рискою з прикладом під рискою?
Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку.
Застосуємо це правило при розв'язуванні нашого рівняння.
800: х = 40 х = 800: 40 х = 20
800 :20 = 40 40 = 40
Новітня програма з математики включила розв'язання рівнянь на дві дії, яких не було раніше. Підручник М. Богдановича не містить таких рівнянь, тому вчитель сам повинен "розширити" рівняння на одну дію. Працюючи з рівняннями, можна роботу побудувати так. Після того, як рівняння розв'язані учнями у зошитах, учитель записує їх на дошці і під кожним пише "розширене" рівняння:
х-25 = 900 966: х = 21
х-25 = 800+ 100 (900 + 66) : х = 21
Учні співставляють рівняння в кожній парі і з'ясовують, що перш ніж шукати х, у рівнянні треба знайти значення виразу, яким представлено відомий компонент або результат рівності, тобто виконати додаткову дію. Після цього рівняння дістає звичний вигляд.
Запис має вигляд:
12041
9085
2956
Оля задумала число. Якщо від нього відняти 8 і до результату додати число 15, то дістанемо 60. Яке число задумала Оля?
Учні під керівництвом учителя складають рівняння:
(х-8) + 15 = 60.
Далі з'ясовують, що у лівій частині записана сума, перший доданок якої х — 8, 9 другий - 15. Невідомим вважають той компонент, який містить змінну. Отже, потрібно знайти невідомий перший доданок. Учні повторюють правило і записують:
х-8 = 60-15
х - 8 = 45 - такі рівняння їм уже знайомі, далі
х = 45 + 8 розв'язування не становить труднощів х = 53
53 - 8 = 60-15 45-45
Аналогічно розв'язують і рівняння з іншими діями. (х + 3):9 = 4
ділене дільник частка
Щоб знайти невідоме ділене, потрібно частку помножити на дільник:
х + 3 = 4-9
х + 3 = 36 - далі іде звичайне розв'язування х = 36 - 3 рівняння на одну дію
х = 33
33 + 3 = 4-9 36 = 36
Найскладніші рівняння у 4 класі включають письмові обчислення:
12(Яі- 739^= 9085 зменшуване від'ємник різниця
_2956\739 2956%~
Перевірка: 739 _12041 4 2956 2956 9085
739-х = 12041 -9085 739-х = 2956 х = 2956 : 739 х = 4
12041 - 739-4=9085 12041 - 2956 = 9085 9085 = 9085