§7 Ряд Лорана в окрестности особой точки.

Рассмотрим ряды Лорана функции в окрестностях её особых точек.

1. Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки.

Теорема 1.

Для того, чтобы изолированная особая точка была устранимой особой точкой , необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в ее окрестности была тождественно равна нулю, тогда .

При этом ряд Лорана имеет вид

(2.31)

Следовательно, ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки является степенным рядом.

Доказательство.

Н

Рис. 2.7

еобходимость: Пусть устранимая особая точка функции , следовательно, существует . Тогда функция ограничена в окрестности точки , следовательно, существует такое

что при .

Оценим коэффициент

( на кривой ).

Так как в качестве окружности Г можно взять произвольную окружность сколь угодно малого радиуса R, то , следовательно, ,

Достаточность. Дано, что . То ряд формулы (2.31) сходится в окрестности точки , кроме самой точки , следовательно в кольце , тогда ряд формулы (2.31) − степенной ряд, он сходится во всем круге , следовательно, и в точке , следовательно, что означает, что устранимая особая точка. Из доказательства теоремы 1 вытекает, что условие можно заменить условием при . Тем самым доказана справедливость теоремы 2.

Теорема 2.

Для того, чтобы изолированная особая точка была устранимой особой точкой для функции , необходимо и достаточно, чтобы функция была аналитической и ограниченной в некоторой окрестности точки .

Замечание. Функция аналитична всюду, кроме точки , тогда она в ней не определена. Положив , получим функцию, аналитическую в точке . Этим оправдан термин «устранимая» особая точка.

Пример 3.

Определить вид особой точки для .

Функция аналитична всюду, кроме точки ,так как при . Точка −особая изолированная точка. Учитывая, что и разложение в ряд функции преобразуем данную функцию

Ряд Лорана содержит лишь правильную часть, поэтому − устранимая особая точка. Устраним особенность , положив .

2. Ряд Лорана в окрестности полюса

Теорема 3.

Для того, чтобы изолированная особая точка была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности точки содержала лишь конечное число членов, при этом порядок полюса равен номеру старшего члена главной части ряда Лорана.

Доказательство.

Необходимость. Пусть − полюс порядка функции , тогда

. Разлагая функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , получим ряд Лорана для функции в окрестности

, , где .

Главная часть этого ряда содержит лишь конечное число членов, причем , где - порядок полюса функции .

Достаточность. Пусть главная часть ряда Лорана функции содержит конечное число членов.

,

следовательно, − полюс порядка .

Пример 4.

Определить характер точки для функции .

Разлагая функцию в ряд Тейлора по степеням , получим разложение в ряд Лорана функции в окрестности .

Разложение в ряд Лорана функции в окрестности содержит конечное число членов с отрицательными степенями . Следовательно, точка является полюсом пятого порядка, так как наибольший показатель степени , содержащихся в знаменателях членов главной части ряда Лорана, равен 5.

3. Ряд Лорана в окрестности существенно особой точки

Теорема 4.

Для того, чтобы изолированная особая точка была существенно особой точкой для функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности точки содержала бесконечное число членов.

Доказательство следует из теорем 1 и 3.

Пример 3.

Показать, что является существенно особой точкой функции .

Функция аналитична на всей плоскости , при представима на этой плоскости рядом . Заменяя на , получим

.

Главная часть ряда Лорана функции содержит бесконечное число членов, следовательно, точка − существенно особая точка .

Замечание.

Общие формулы для коэффициентов ряда Лорана обычно мало удобны для вычислений. В некоторых случаях могут быть применены более простые приемы. Для разложения в ряд Лорана рациональной функции достаточно воспользоваться представлением правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Простейшая дробь вида разлагаются в ряд, являются геометрической прогрессией, а дробь вида в ряд, полученный с помощью − кратного дифференцирования геометрической прогрессии. Заметим, что всякая правильная рациональная дробь может быть разложена в сумму дробей вида , где , – комплексные числа. При разложении в ряд Лорана иррациональных и трансцендентных функций можно использовать разложение их в ряд Тейлора. Иногда следует предварительно преобразовать разлагаемую функцию.

Пример 5. Разложить в окрестности точки в ряд Лорана .