§ 4. Интегральная формула Коши и ее приложения.

Пусть Г кусочно-гладкая граница односвязной области D и f(z) – функция, аналитическая в области D и непрерывная в замкнутой области Рассмотрим произвольную точку . За исключением точки функция переменной аналитична всюду в области D. Опишем окружность радиуса ρ с центром в z, принадлежащую области D (рис. 1.6).

Так как функция f(z) аналитична в двухсвязной области, ограниченной кривыми Г и , и непрерывна на ее границе , то по теореме Коши , т.е. интеграл не зависит от радиуса р окружности. Так как существует , то доопределив функцию в точке , положив , имеем функцию , непрерывную в области D, а значит и ограниченную в ней: . Учитывая это, получим: В силу произвольности р и постоянства M, имеем: следовательно или отсюда получаем интегральную формулу Коши: .Она выражает значение функции f(z), аналитической в области D и непрерывной в , через ее значения на границе области Г. Интеграл называют интегралом Коши.

Пример 1.

Вычислить интеграл

Поскольку функция аналитична в замкнутой области, ограниченной окружностью , то по интегральной формуле Коши имеем:

Если рассмотреть этот же интеграл, но в качестве контура взять окружность то следовательно, подынтегральная функция аналитична всюду в замкнутой области, ограниченной окружностью

Следствие 1.

В частном случае, если кривая является окружностью с центром в точке z радиуса R, тогда , следовательно,

таким образом, функция f (z) равна среднему арифметическому значению f ( ) на окружности с центром z.

Интегральная формула Коши справедлива и для многосвязной области. Действительно, пусть D многосвязная область, ограниченная контуром и функция f (z) аналитична в D и непрерывна . Рассмотрим произвольную точку и такую окружность C_R, с центром в точке , чтобы область, ограниченная окружностью C_R , вместе с самой окружностью полностью принадлежала D (рис.1.7).

Т огда функция удовлетворяет условиям теоремы Коши в (n + 2)-связной области, ограниченной контуром тогда, по доказанной выше теореме

,

Используя представление функции интегралом Коши (1.11), покажем, что аналитическая в области функция дифференцируема в точках области D сколько угодно раз.

Теорема.

Если функция f (z) аналитична в области D с границей Г и непрерывна в области , то она обладает в области D производными всех порядков, причем производная порядка n представляется формулой

. (1.12)

Доказательство.

Пусть z – произвольная точка области D (рис.1.8).

На основании интегральной формулы Коши имеем

Оценим разность

Из непрерывности f (z) на замкнутом множестве Г следует ограниченность f (z), следовательно, существует М>0 такое, что < М для С другой стороны поэтому существует такое, что . Откуда для справедливо , поэтому

где l − длина кривой Г. Поскольку M, l, d не зависят от R, то при , Мы доказали формулу (1.12) для n = 1.Для любого n > 1 формула доказывается индукцией по n.

Пример 2.

Вычислить

К этому интегралу можно применить формулу (1.12), тогда

Замечание:

Рассмотрим неравенства Коши.

Обозначим через М максимум в области D, через R расстояние от точки z до границы и через l длину границы Г, тогда из интегральной формулы для n-ой производной имеем

(1.13)

В частности, если аналитична в круге , то принимая в качестве D этот круг, будем иметь:

(n = 0, 1, 2…). (1.14)

Неравенства (1.13) и (1.14) называются неравенствами Коши.