§4. Ряды Тейлора.

Во всяком замкнутом круге степенной ряд

сходится правильно в силу теоремы Абеля и по теореме Вейерштрасса имеет своей суммой − аналитическую функцию в круге , поэтому

(2.11)

По теореме 3 ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз.

,

, (2.12)

.

Полагая в рядах (2.10), (2.12) , получим

.

В силу чего ряд (2.11) записывается в виде

(2.13)

Определение 1.

Степенной ряд называется рядом Тейлора в окрестности точки .

Таким образом, сумма степенного ряда (2.10) является аналитической функцией в круге сходимости ряда, причем этот ряд является рядом Тейлора своей суммы .

Всякую ли функцию , аналитическую в некотором круге, можно разложить в этом круге в ряд Тейлора? Ответ дает следующая теорема.

Теорема. Всякая функция , аналитическая в круге, может быть в этом круге единственным образом разложена в ряд Тейлора.

Доказательство.

Возьмем какую-нибудь точку из круга и построим круг , концентрический с первым и тоже содержащий точку . Через обозначим окружность . Поскольку аналитична в замкнутом круге , то по формуле Коши

(2.14)

где обходится в положительном направлении. Поскольку точка лежит на , то , в силу чего прогрессия

(2.15)

правильно сходится по на окружности (см. пример 1 §3). Подставив (2.15) в (2.14) и интегрируя почленно полученный ряд, на основании формулы производной − го порядка аналитической функции получим

=

(постоянный относительно множитель вынесен за знак интеграла).

Таким образом, получили разложение аналитической функции в ряд Тейлора в круге . Единственность этого разложения − следствие доказанного выше утверждения, что любой степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы. Отсюда следует, что найденное любым способом разложение аналитической функции в степенной ряд является рядом Тейлора этой функции.

Каков радиус сходимости ряда Тейлора? Всякая однозначная элементарная функция является аналитической во всех точках, в которых она определена. Но может случиться, что ряд Тейлора элементарной функции сходится и в такой точке, в которой эта элементарная функция не определена. Условимся в этом случае приписывать рассматриваемой элементарной функции в соответствующей точке значение, равное сумме ее ряда Тейлора в этой точке.

Пример 1.

Для функции имеем . Ряд Тейлора ( ) имеет вид :

для всех точек плоскости. Для любого справедливо

Ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится и при , причем его сумма при равна 1. Условимся поэтому считать, что при .

При таком условии радиус сходимости ряда Тейлора для всякой однозначной элементарной функции равен расстоянию точки , являющейся центром круга сходимости до ближайшей особой точки этой функции(напомним, что особой точкой называют точку, в которой функция не является аналитической). Действительно, радиус сходимости не может быть больше указанного расстояния , так как в противном случае внутрь круга сходимости попала бы по крайней мере одна особая точка функции , причем эта точка была бы особой и для суммы ряда Тейлора (внутри круга сходимости ввиду принятого условия элементарная функция и сумма его ряда Тейлора тождественны). Это противоречило бы тому, что сумма степенного ряда является функции аналитической, во всякой точке, лежащей внутри его круга сходимости. С другой стороны, радиус сходимости ряда Тейлора не может быть и меньше расстояния точки до ближайшей особой точки функции , потому что внутри круга радиуса с центром в точке функция аналитична и поэтому, как было доказано, допускается разложение в сходящийся ряд Тейлора.

Пример 2.

Для функции Ряд Тейлора ( ) имеет вид: Так как аналитична по всей плоскости, то .

Пример 3.

Для функции . Ряд Тейлора ( ) имеет вид: Так как функция аналитична во всей плоскости, то .

Пример 4.

Для главной ветви логарифма ряд Тейлора ( ) имеет вид

, поскольку . Точка есть ближайшая к точке особая точка функции Полученное разложение справедливо в круге

Пример 5.

Разложим в ряд Тейлора . Если − целое число, то − однозначная функция. При получим формулу бинома Ньютона ( ибо все производные порядка выше равны 0). Если , то и получим биноминальный ряд. Точка является особой для , в силу чего это разложение имеет место в круге Указанное разложение в ряд Тейлора в круге справедливо и для нецелого числа . В частности, при получим

. (2.16)

Пример 6.

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функцию

и найти радиус сходимости ряда.

Разложим данную функцию на простейшие дроби .

Используя разложение (2.16) функции , получим Ближайшей к точке особой точкой данной функции является точка , поэтому радиус сходимости полученного ряда .

Пример 7.

Разложить по степеням функцию и найти радиус сходимости. Преобразуем данную функцию следующим образом:

.

Заменяя в разложении (2.16) на , получим

Этот ряд сходится при условии или , ряда .