§3. Степенные ряды.

Определение 1. Функциональный ряд вида

, (2.8)

где − комплексные постоянные (коэффициенты ряда), называется степенным.

Основной теоремой теории степенных рядов является теорема Абеля.

Теорема 1 (теорема Абеля). Если степенной ряд (2.8) сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге . Во всяком замкнутом круге меньшего радиуса ряд сходится правильно.

Доказательство.

Так как ряд сходится в точке , то , следовательно, модули членов ряда (2.8) ограничены, поэтому существует такое число , что при любом . Пусть – любая точка, лежащая внутри круга с центром в точке и радиуса , тогда и . Общий член ряда (2.8) можно преобразовать . Отсюда видно, что , поэтому модули членов ряда (2.8) в точке меньше членов геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, ряд (2.8) сходится в точке абсолютно, и первая часть теоремы доказана.

Возьмем произвольный круг . По доказанному выше, ряд (2.8) сходится абсолютно во всякой точке, расположенной внутри круга , в частности в точке , лежащей на окружности . Числовой ряд сходится. Но для любой другой точки , лежащей внутри круга или на окружности круга , справедливо неравенство , следовательно при любом . Этим доказано, что в круге ряд сходится правильно, следовательно, и равномерно.

Следствие. Если ряд (2.8) расходится в некоторой точке , то он расходится и во всех точках области .

Действительно, если бы ряд сходился в точке области , то по теореме Абеля он сходился бы и в точке , что противоречит условию.

Найдем область сходимости степенного ряда. Рассмотрим любой луч, выходящий из нулевой точки. Возможны три случая:

1)ряд сходится во всех точках этого луча. В силу теоремы Абеля ряд (2.8) сходится абсолютно и правильно внутри круга сколь угодно большого радиуса, т.е. во всей плоскости;

2)ряд сходится во всех точках луча, кроме точки (где ряд (2.8) сходится всегда, ибо все члены этого ряда, кроме первого, обращаются в нуль). В этом случае на основании следствия из теоремы Абеля заключаем, что ряд расходится в области , где − сколь угодно малое положительное число, т.е. расходится во всей плоскости, исключая точку ;

3) на луче имеются как точки сходимости ряда (2.8), отличные от , так и точки расходимости ряда. Поскольку из теоремы Абеля и следствия из нее можно заключить, что всякая точка сходимости ряда (2.8) лежит ближе к точке , чем всякая точка расходимости ряда, то в этом случае на луче найдется точка, , отделяющая точки луча, в которых ряд сходится, от точек луча, в которых ряд расходится. В точке ряд может расходиться или сходиться.

Определение 2. Величина называется радиусом сходимости ряда (2.8), а круг кругом сходимости ряда.

В круге ряд (2.8) сходится, вне этого круга расходится, на окружности могут располагаться как точки сходимости, так и точки расходимости ряда. В рассмотренных выше случаях 1) и 2) будем считать, соответственно, что и . Радиус сходимости ряда (2.8) можно определить, пользуясь признаком Даламбера.

Признак Даламбера. Пусть существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд (2.8) сходится, если , т.е., при . Расходится, если , т.е., при .

По признаку Даламбера радиус сходимости ряда (2.8) равен

Так как во всяком круге, находящимся внутри круга сходимости, как было доказано выше, степенной ряд сходится правильно, следовательно и равномерно, то из теорем 1,2,3 предыдущего параграфа следует верность следующих теорем.

Теорема 2. Сумма степенного ряда (2.8) непрерывна в каждой внутренней точке круга сходимости.

Теорема 3. Степенной ряд (2.8) можно почленно дифференцировать и интегрировать по любому контуру , принадлежащему кругу сходимости.

Если , то , (2.9)

Радиусы сходимости рядов (2.9) не могут быть меньше (ибо они сходятся равномерно во всяком круге по теореме Вейерштрасса), но в тоже время они не могут быть и больше , так как тогда радиус сходимости ряда (2.8), полученного почленным соответственно интегрированием и дифференцированием ряда (2.9), тоже была бы больше .

Рассмотрим ряд

(2.10)

где − любое комплексное число, тоже называется степенным. Подстановкой он сводится к ряду (2.8). Кругом сходимости ряда (2.10) является круг или , т.е., круг с центром в точке . Радиус этого круга можно вычислить по формуле , поскольку коэффициенты рядов (2.8) и (2.) одинаковы.

Пример 1.

Рассмотрим геометрическую прогрессию

Радиус сходимости находим по формуле .

Следовательно, кругом сходимости прогрессии является круг радиуса с центром в начале координат, т.е. круг . Внутри этого круга прогрессия сходится абсолютно, а во всяком замкнутом круге − правильно. Как и в действительном анализе сумма прогрессии внутри ее круга сходимости равна , так что .

Пример 2.

Исследовать сходимость ряда Его радиус сходимости . Кругом сходимости данного ряда является круг радиуса с центром в точке , т.е., вся плоскость .