§2. Функциональные ряды.
Рассмотрим последовательность функций
комплексного переменного
,
заданных в некоторой области
.
Образуем функциональный ряд.
(2.5)
Его частичная сумма
функция от
.
При фиксированном
функциональный ряд обращается в числовой
ряд, который может сходиться или
расходиться.
Определение 1. Множество точек , в которых ряд (2.5) сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Сумма
ряда (2.5) является функцией переменного
и определена в точках, в которых ряд
(2.5) сходится.
Если ряд (2.5) сходится в области
,
то в каждой точке этой области
последовательность остатков
ряда стремится к нулю,
,
это значит, что для каждого
можно указать такое натуральное число
,
что для всех
модуль остатка удовлетворяет неравенству
.
Наименьшее число
,
определяющее номер
,
начиная с которого справедливо неравенство
вообще говоря, зависит не только от
,
но и от
,
и не является, следовательно, одинаковым
для всех точек области сходимости ряда;
чтобы подчеркнуть эту зависимость,
пишут не
,
а
(
,
).
Однако существует важный класс
функциональных рядов, для которых
неравенство
наступает одновременно для всех
как только номер
превысит
число
,
зависящее только от выбора
.
Определение 2. Ряд (2.5), сходящийся в
области
,
называется равномерно сходящимся в
этой области, если для каждого
можно указать такое натуральное число
,
зависящее только от
,
что для всех
справедливо
неравенство
одновременно для всех
из области
.
Предположим, что в области ряд (2.5) не только сходится, но и мажорируется некоторым сходящимся числовым рядом с действительными членами. Это значит, что существует такой сходящийся числовой ряд
(2.6)
с положительными членами, что во всех точках области справедливо
Определение 3. Ряд (2.5), сходящийся в области , называется правильно сходящимся в этой области, если он мажорируется сходящимся числовым рядом (2.6).
Если ряд (2.5) сходится правильно, то
,
следовательно, модуль остатка данного
функционального ряда (2.5) не превосходит
остатка
числового ряда (2.6). Но так как ряд (2.6)
сходится, то как бы ни было мало
,
найдется такое число
(зависящее только от
,
так как ряд (2.6) числовой и его члены не
зависят от
),
что
<
при
.
Тем более поэтому при
.
Таким образом, для рядов, правильно
сходящихся в области
,
неравенство
справедливо при любом сколь угодно
малом
,
если
,
где
зависит только от
.
Следовательно, правильно сходящиеся
ряды являются равномерно сходящимися
рядами (однако, не всякие равномерно
сходящиеся ряды сходятся правильно).
Условие равномерной сходимости ряда функций комплексного переменного в некоторой области гарантирует непрерывность суммы ряда, а также возможность интегрирования и дифференцирования суммы ряда путем почленного интегрирования и дифференцирования этого ряда. Справедливы следующие теоремы, аналогичные соответствующим теоремам для рядов с действительными членами.
Теорема 1. Если члены ряда (2.5)
непрерывны в области
,
ряд сходится в этой области равномерно,
то сумма
ряда тоже непрерывна в области
.
Теорема 2. Если члены ряда (2.5) непрерывны в области и ряд сходится в этой области равномерно, то
где
− любой контур.
Теорема 3. (теорема Вейерштрасса). Если члены ряда (2.5) аналитичны в области , ряд сходится в равномерно, то сумма ряда аналитична в и
,
(2.7)
причем ряд (2.7) производных сходится равномерно в .