§ 2. Теорема Коши
Теорема Коши.
Если функция f(z) аналитична в односвязной области D и Г − произвольная замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана в D, то справедлива формула
.
(1.9)
Доказательство.
Докажем
теорему при дополнительном предположении,
что производная
функции
непрерывна в D.
Пусть
тогда
В силу предположения функции u (х, у) и v(х, у) непрерывны в области D вместе с частными производными, потому для них справедлива формула Грина:
где
D
Г –
область, ограниченная контуром Г.
Равенство нулю двойных интегралов по
условиям Коши-Римана, выполняющихся
для аналитической функции f(z)
в области D.
Из полученных
равенств получаем:
Теорема доказана.
Теорема Коши доказана нами для односвязной области, но ее можно обобщить и на случай многосвязной области.
Теорема Коши для многосвязной области.
Пусть
f(z)
– аналитическая в области D
функция ,
замкнутые кусочно-гладкие кривые
Жордана, лежащие внутри области D,
причем
лежат внутри
и во внешности друг друга, и многосвязная
(n
+ 1 – связная) область G,
ограниченная кривыми
,
,
лежит внутри области.
Обозначим
через Г
сложный контур, состоящий из контура
(проходимого в положительно направлении)
и контуров
,
,
(проходимых в отрицательном направлении).
(см. рис. 1.2).Тогда справедлива формула:
,
где
Доказательство.
Соединим
последовательно контуры
с
помощью кривых, лежащих внутри D.
Тогда вместо (n
+ 1)-го замкнутого контура, будем иметь
два контура Г1
и Г2,
ограничивающих соответственно две
области D1
и D2.
При этом
так как каждый вспомогательный отрезок,
соединяющий
и
(i
= 0, 1, …, n
- 1), проходится
дважды в разных направлениях. Каждая
из областей D1
и D2,
является односвязной и принадлежит
вместе со своей границей области D.
Поэтому
для каждой из них справедлива теорема
Коши для односвязной области:
;
следовательно, доказано
.
Пример.
Вычислить
интеграл
по замкнутому контуру Г.
1. Пусть точка z = а не принадлежит области, ограниченной Г, тогда по
теореме
Коши
2
.
Предположим, что точка z
= а принадлежит
области ограниченной контуром Г.
(см. рис. 1.3).
В
этом случае теорема Коши не применима.
Возьмем в качестве нового контура
окружность CR
достаточно малого радиуса R
с центром в точке a
такую, чтобы она лежала внутри контура
Г.Так
как в двухсвязной области, ограниченной
CR
и Г,
применима теорема Коши, то
или
(последний интеграл вычислен в примере 3 §1).
Замечание.
Из
теоремы Коши следует, что интеграл от
функции f(z),
аналитической в односвязной области
D,
не зависит от пути интегрирования, а
зависит лишь от его начала и конца, т.е.
,
где А
и В
– соответственно начало и конец кривой,
принадлежащей области D
аналитичности функции f
(z).
§ 3. Неопределенный интеграл
В
интеграле
зафиксируем
нижний придел z0
интегрирования и будем рассматривать
интеграл как функцию верхнего предела
Теорема 1.
Если функция f (z) непрерывна в односвязной области D и интеграл
не
зависит от пути интегрирования, тогда
однозначная функция f
(z)
в области D
аналитична в D,
причем
Доказательство.
П
о
определению производной и на основании
свойств интеграла для произвольных
точек
и
(рис. 1.4) запишем
В
силу непрерывности функции f(z)
в точке z
справедливо,
где
при
,
тогда получим:
где
путь интегрирования от точки z
до точки
− отрезок, но
при
.
Отсюда
,
следовательно,
Определение.
Функция
Ф(z)
называется первообразной для функции
f(z)
в некоторой области D,
если (Ф(z))′=
для
.
Из
доказанной теоремы следует, что
является первообразной для функции
f(z).
Теорема 2.
Любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянное слагаемое.
Доказательство предоставляется провести самостоятельно.
На основании этой теоремы можно записать:
где
Ф(z)
– любая первообразная функция
В
частности, при
следовательно,
(1.11)
Мы получили формулу, аналогичную формуле Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла функции действительного переменного.
Пример.
Рассмотрим
.
Подынтегральная функция аналитична в
любой односвязной области D
комплексной плоскости, не содержащей
току z
= 0, например, в области
.
В
этой области
является первообразной для функции
Поэтому
Предположим, что линия, соединяющая
точку z
= 1 с точкой z,
пересекает отрицательную действительную
ось (рис. 1.5).
В этом случае, учитывая пример 3 § 1, имеем
Если
путь интегрирования совершает k
оборотов вокруг точки z
= 0, то
(знак определяется направлением движения
по кривой).
Таким
образом, мы получаем ту или иную ветвь
многозначной функции
.
Можно написать
.