§3 Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов

Рассмотрим несколько примеров на применение вычетов к вычислению интегралов по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах(формула 4.4).

Алгоритм вычисления интегралов с помощью вычетов

1. Найти особые точки функции f(z).

2. Определить, какие из этих точек расположены в области ограниченной контуром C. Для этого достаточно сделать чертёж: изобразить контур C и отметить особые точки.

3. Вычислить вычеты в тех особых точках, которые расположены в области D.

4. Записать результат по формуле ( 4.4):

D.

Пример 1.

Вычислить интеграл .

Записываем решение по алгоритму.

1. К онечными особыми точками функции являются нули знаменателя, , т.е. , k = 0,1,2,3. Заметим, что все точки – простые нули знаменателя, следовательно, простые полюсы f(z).

2. Контуром интегрирования является окружность , а точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность (рис.4.5). Поэтому в область, ограниченную контуром, попадают точки и . Заметим, что .

3. Находим вычеты в точках по формуле (4.8):

.

4. Записываем ответ:

Пример 2.

Вычислить интегралы:

a) ; б) .

Единственный конечной особой точкой каждой из подынтегральных функций является - существенно особая точка. В обоих случаях она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования. Вычеты находим, раскладывая функции по степеням z (см примеры 2 и 3 §1).

Получаем

.

Записываем ответ: а) ; б) .

Пример 3.

Вычислить интегралы:

а) ; б) .

а) Воспользуемся алгоритмом.

1. Находим конечные особые точки функции - корни уравнения , следовательно, , .

2. В область входят точки , так как

и . Другие точки не принадлежат кругу , так как для них .

3. Точка - устранимая особая точка функции, так как, применив ,

;

поэтому . Точка z=-1 является полюсом первого порядка , поскольку она − простой нуль знаменателя, а числитель при этом не обращается в нуль, следовательно, функция записывается в виде . Вычет вычисляем по формуле (4.8) :

.

4.Запишем ответ:

.

б) Воспользуемся алгоритмом.

1. Особыми точками функции являются нули знаменателя - корни уравнения или ,откуда ,

2. Из всех найденных корней кругу принадлежит только одна точка .

3,4. Находим вычет в точке - простом полюсе :

.

Записываем ответ: .

Пример 4.

Вычислить интегралы:

а) ; б) .

а) Особыми точками функции являются простые полюсы и , Точка не принадлежит кругу , точки расположены на окружности ,следовательно, принадлежат кругу . Применяя формулу ( 4.4), можно найти вычеты в этих точках, получив ответ:

.

Чтобы не вычислять вычеты в 15 особых точках , применим обобщенную теорему о вычетах (формулу(4.5)). В данном случае она имеет вид и, следовательно,

.

Для - простого полюса вычет находим по формуле (4.8):

.

Точка - устранимая особая точка для и . Вычет вычисляем по формуле (4.10):

.

Получаем ответ: .

б) Особыми точками функции являются точки - простой полюс и точка - существенно особая точка. Обе точки принадлежат кругу .

Вычет в точке находим по формуле (4.8):

.

Для нахождения вычета в существенно особой точке нужно найти коэффициент c_-1 в разложении функции в ряд Лорана по степеням . Для этого записываем разложения в ряд Лорана функций и , перемножаем ряды и находим c_-1 - коэффициент при степени .

Заметим, вычет в существенно особой точке можно вычислить, используя формулу (4.5).Из равенства следует .

Поэтому и

Пример 5.

Вычислить интеграл ,где С-граница круга единичного радиуса с центром в точке :

а) б) .

Особыми точками подынтегральной функции являются - полюс первого порядка, − существенно особая точка и - устранимая особая точка(см. пример 4.6).

а) В круг входит точка . Находим вычет по формуле (4.8):

.

Получаем ответ: .

б) В круг входят две точки: - существенно особая точка, − устранимая особая точка. Поэтому

,

или, применяя формулу (4.5) (чтобы избежать вычисления вычета в существенно особой точке), получаем

.

Так как , находим по формуле (4.8):

.

Получаем ответ: .

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьв М.А. , Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. «Наука», Москва, I 965.

2. Маркушевич А.И. Краткий куре теории аналитических функций. «Наука», Москва, I 966.

3. Свешников А.Г. Тихонов А.В. Теория функций комплексной переменной. «Наука», Москва, I 970.

4. Фукс Б.А.‚ Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Физматгиз. Москва, I 959.

5. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. «Наука», Москва, I 964.

Рассмотрено и рекомендовано к рассмотрению учебно-методического совета КИ (ф) МГОУ

на заседании кафедры

Высшей и прикладной математики

КИ (ф) МГОУ "22" февраля 2012 г.

протокол № 7

Рекомендовано к печати решением

учебно-методического совета

КИ (ф) МГОУ от "___" _____________2012 г.

протокол № ___