Глава 3 особые точки функций косплексного переменного.

§1 Изолированные особые точки функций

Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках. Будем рассматривать изолированные особые точки функций, следовательно, особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции.

В частности, конечная особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число , такое, что в круге эта точка – единственная особая точка , а в проколотой окрестности функция аналитическая.

Бесконечно удалённая особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число , такое, что в области эта точка – единственная особая точка , а в кольце , функция аналитическая.

Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда.

Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры из гл.2.

Изолированная особая точка функции называется устранимой особой точкой, если существует в этой точке конечный предел ; полюсом, если в этой точке функция имеет бесконечный предел ; существенно особой точкой, если в этой точке не существует.

Замечание.

Если в случае устранимой особой точки положить , то будет аналитической в окрестности точки и точку можно считать правильной, следовательно, не особой.

Пример 1.

Исследовать существование в случаях

а) б) .

а) В действительной области не существует, так как не равны односторонние пределы , но существует предел второй функции: .

б) В комплексной области, очевидно, не существует, так как он не существует в частном случае .

Для второй функции полученного выше результата недостаточно, чтобы , так как рассмотрено только два направления на плоскости – по действительной положительной и действительной отрицательной полуосям.

Рассмотрим еще какое-нибудь направление, например по мнимой оси, следовательно, для при . Сравнивая этот результат с полученным выше , заключаем, что в комплексной области не существует.

Аналогично можно показать, что не существует , хотя для случаев и (по действительной и мнимой осям).

Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, как было рассмотрено выше, при вычислении пределов функций в особых точках было использовано разложение функции в ряд.

Пример 2.

Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки функций:

а) б) в)

Так как особая точка − конечная особая точка, то в разложениях в ряд Лорана этих функций главную часть ряда образует совокупность членов с отрицательными степенями, а правильную – с неотрицательными.

а) Особенностью ряда для функции является отсутствие главной части в разложении ее в окрестности точки – особой точки этой функции; особенностью поведения функции в этой точке – существование конечного предела .

б) Этот результат можно обобщить: главная часть разложения функции по степеням содержит конечное число слагаемых: и функция может быть записана в виде , а поэтому .

в) Разложение функции , как и , в окрестности точки содержит бесконечное множество членов в главной части. Пределы этих функций в точке не существуют.

Эти простые примеры показывают, что поведение функции в особой точке связано с видом главной части ряда Лорана: трем отмеченным выше случаям нахождения предела функции в точке соответствуют три различных случая вида главной части ряда Лорана в окрестности точки. В примере 2 исследовалась конечная особая точка. Такой же результат можно получить, рассматривая точку , например, для функций , и .

В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования ) особые точки функций делят на три типа – производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход.

Пример 3.

Определить тип особой точки для функции

а) б) в) г) .

На основании результатов решения примеров 1,2 заключаем, что является устранимой особой точка для функции ; полюсом для при любом ; существенно особой точкой для функции

Пример 4.

Определить тип особой точки для функций и . Рассмотрим . Для удобства введем обозначение .

Для функции получим , поэтому является полюсом функции . Для функции точка является существенно особой, так как не существует.