§ 6. Ранг матрицы

Определение 1. Пусть дана прямоугольная матрица A= , размерами m n. Вычеркнем мысленно r-строк и r- столбцов матрицы, из стоящих на пересечении этих строк и столбцов элементов составим определитель r-порядка. Будем называть его минором порядка r матрицы А и обозначать М .

Пример 1. Матрица

имеет М = 1, получающийся при вычеркивании 1 столбца и 1 строки; М =3, который получится, если вычеркнуть 1 строку и 3 столбец; М = , составленный из элементов, стоящих на пересечении 2, 4 строк и 2, 4 столбцов; М = , составленный из элементов, стоящих на пересечении 1, 2, 3 строк и 2, 3, 4 столбцов. Очевидно, что таких миноров будет несколько. Есть единственный минор, порядка 4

,

который является её определителем. Миноров более высокого порядка не существует.

Определение 1. Рангом матрицы А, размерами m n, называется наибольший порядок её минора отличного от нуля и обозначается Rg A.

Если Rg A = r, то существует минор r-порядка М , а все миноры более высокого порядка либо равны нулю, либо не существуют.

Свойства ранга матрицы

1.Ранг матрицы не превосходит количество строк матрицы и количество столбцов матрицы, т.е. Rg A

2. Ранг суммы двух матриц не превосходит суммы рангов слагаемых, т.е.

Rg (A +B) Rg A+Rg B.

3. Ранг разности двух матриц не меньше, чем модуль разности уменьшаемого и вычитаемого Rg (A - B) l Rg A - Rg Bl.

4. Ранг произведения матриц не превосходит меньшего из рангов сомножителей

Rg (A B) Rg A,Rg B).

5. Величина ранга матрицы не изменяется при умножении на транспонированную матрицу, т.е.Rg = Rg .

Пример 2. Матрица имеет ранг не меньше, чем 1, и не больше, чем 3, т.к.

есть минор М = 1, а порядок матрицы равен 3.

Вычислим минор М = Поэтому ранг матрицы меньше, чем 3. Он равен 2, потому что есть М .

§ 7. Элементарные преобразования матрицы.

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования над ее строками или столбцами, состоящие в том, что

1. Строка (столбец) матрицы умножается на число С 0.

2. Переставляются строки (столбцы) матрицы.

3. К элементам одной строки (столбца) прибавляют элементы другой строки (столбца) умноженной на число С 0.

Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к виду

. ( 1 )

Можно доказать, что элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы. Поэтому можно дать другое определение ранга матрицы.

Определение 2. Рангом матрицы называется количество единиц на главной диагонали в формуле ( 1 ).

Можно показать, что оба определения ранга матрицы равносильны. На практике используется то определение, которое даёт более простые вычисления.

Пример 1. Найдём ранг матрицы

используя элементарные преобразования. При этом преобразование вида 2означает, что из второй строки вычитается четыре первых, означает, что из второго столбца вычитается два первых.

. Rg A = 2.

,

Замечание. Практически вычисления можно закончить на этапе нахождения ступенчатой матрицы , т.к. М , поэтому Rg A = 2.

С помощью элементарных преобразований можно находить обратную матрицу. Для этого можно воспользоваться схемой ( А l Е ) ( Е l А ). Составим матрицу размерами n 2n

( слева матрица А, а справа единичная матрица ). Если выполнить такие элементарные преобразования над строками построенной матрицы, чтобы в левой половине получилась единичная матрица, то в правой получим обратную матрицу.

Пример 2. Найдём обратную матрицу для матрицы

.

(АlЕ)=

.Обратная матрица

Преимущество данного метода в том, что он не требует предварительной проверки невырожденности матрицы. Установление этого факта происходит в процессе вычисления.