Свойства произведения матриц.

1.АВ ВА

Определение 2. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными.

Например, матрицы и перестановочны,

т.к. , а матрицы А= , В= не перестановочны.

2. (АВ)С = А(ВС)

3. (А+В)С =АС+ВС

4. det(AB) = detA*detB.

§4. Транспонирование матрицы.

Определение 1.Пусть дана матрица A = размерами m n . Транспонированной матрицей называется матрица размерами n m , элементы которой получаются из элементов матрицы А с помощью симметрии относительно главной диагонали.

= , .

Очевидной является следующая

Теорема. Для того, чтобы матрица была симметричной необходимо и достаточно, чтобы она совпадала со своей транспонированной матрицей.

Свойства операции транспонирования.

1. .

2. .

3. .

4. .

§5. Обратная матрица

Определение 1. Пусть дана квадратрая матрица А. Квадратная матрица С называется обратной для матрицы А, если

CA = AC = E, и обозначается .

Обратную матрицу может иметь только невырожденная матрица.

Алгоритм построения обратной матрицы.

1. Вычисляем определитель матрицы А Если он отличен от нуля, продолжаем вычисления, если он равен нулю вычисления прекращаются, т.к. в этом случае матрица не имеет обратной.

2. Вычисляем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А минор, получающийся из матрицы А вычеркиванием i строки и j столбца.

3. Составляем матрицу из алгебраических элементов матрицы А, транспонируем её и получаем матрицу, которую называют присоединённой .

4. Обратная матрица вычисляется по формуле , .

Пример 1. A = . Требуется найти обратную матрицу.

1. Вычислим определитель =1*1*1 + 2*0*(-1) +(-1)*2*0 – (-1)* 1*(-1) –

0*0*1 -1*2*2 = -4. Он не равен нулю, поэтому продолжим вычисления.

2. =1, - = -2, =1,

- = -2, =0, - = -2,

=1, - = -2, = = -3.

3. Строим присоединённую матрицу

4. Получаем обратную матрицу

Или

Пример 2. Дана матрица А = . Найти обратную матрицу.

1. Вычислим определитель = 1*5*9 + 2*6*7 + 3*4*8 – 3*5*7 – 1*6*8 – 2*4*9 = 0. У этой матрицы А нет обратной.

Пример 3. Найти матрицу, обратную матрице А = .

1.Вычислим определитель = 2*2*1 + 1*1*(-5) + 3*(-3)*(-1) – 1*2*(-3)-

-2*(-5)*(-1) – 1*1* 3 = 1. Он не равен нулю, поэтому продолжим вычисления.

2. =-3, - = 2, =1,

- = -8, = 5, - = 1,

= -5, - = 3, = = 1.

3. Строим присоединённую матрицу

.

4. Т.к. определитель равен единице, обратная матрица совпадает с присоединённой.

.

Замечание. Как видно из примера 1 , если исходная матрица симметрична, то и обратная ей матрица тоже симметрична.