
- •Гл. 1. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений. § 1. Матрицы.
- •§ 2.Сложение матриц и произведение матрицы на число.
- •Свойства линейных операций.
- •§ 3.Умножение матриц.
- •Свойства произведения матриц.
- •§4. Транспонирование матрицы.
- •Свойства операции транспонирования.
- •§5. Обратная матрица
- •Алгоритм построения обратной матрицы.
- •§ 6. Ранг матрицы
- •Свойства ранга матрицы
- •§ 7. Элементарные преобразования матрицы.
- •§8. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений.
- •§ 9. Метод Гаусса.
- •§ 10. Разрешимость слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •§ 11. Исследование однородных слау.
- •§ 12.Понятие линейной зависимости и линейной независимости .
- •Список использованной литературы.
Гл. 1. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений. § 1. Матрицы.
Определение 1.
Таблица, содержащая m-строк
и n –столбцов называется
матрицей А и обозначается
А=
либо А =
,
Числа m и n называются размерами матрицы.
Определение 2.
Если m
n
, то матрица называется прямоугольной.
Если m =n, то
матрица называется квадратной. Если m
= 1, получается матрица – строка, если
n = 1, матрица – столбец.
Например, А=
матрица размерами 3
2,
В=
матрица
размерами 2
3.А,
В – прямоугольные матрицы, Е=
- квадратная матрица 3 порядка,
С=(1 2 3) матрица-строка,
D=
матрица-столбец.
Определение 3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называют нулевой.
Определение 4. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица вырождена.
А=
вырожденная квадратная матрица,
С=
- невырожденная.
Определение
5. Место
расположение элементов с одинаковыми
номерами называют главной диагональю.
Элементы
стоят на главной диагонали.
Определение 6 . Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
Например, А=
,
В=
диагональные.
Определение 7. Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы.
Е= единичная матрица третьего порядка. Единичная матрица 2-го порядка:
Е=
.
Определение
8. Квадратная
матрица А называется симметричной,
если величины элементов симметричных
относительно главной диагонали равны,
т. е.
А=
симметричная матрица, В=
,
С=
несимметричные матрицы.
Определение
9. Квадратная
матрица называется нижней (верхней)
треугольной, если все ее элементы
<
(
>
).
A=
- нижняя треугольная, В=
- верхняя треугольная матрицы.
§ 2.Сложение матриц и произведение матрицы на число.
Определение 1.
Пусть даны две матрицы А=
и В=
размерами m
n.
Говорят, что матрицы равны А = В,
если,
Пусть даны две матрицы А= и В= размерами m n.
Матрица С размерами m n называется суммой матриц А и В, если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц А и В
С=А+В
Например А=
,
В=
,
тогда С=
.
Определение 2.
Пусть дана матрица В =
размерами m
n
и число
.
Произведением числа
на матрицу В называется матрица С
размерами m
n,
каждый элемент которой равен произведению
соответствующего элемента матрицы В
на число
.
С =
В
Напрмер, если С=
, то 3С=
,
-2С=
Заметим, что 2А=А+А, а разность матриц А – В = А + ( -1 )В.
Сложение матриц и умножение матрицы на число называют линейными операциями над матрицами .
Свойства линейных операций.
1. А+В = В+А
2. (А+В)+С = А+(В+С)
3.
4.
5.
6.
§ 3.Умножение матриц.
Определение 1.Пусть
даны матрицы A = (
размерами m
p,
и В=
,
размерами p
n.
Произведением матриц называется матрица
C размерами m
n
C = AB =
,
каждый элемент которой
=
.
Пример 1. Пусть А=
,
В=
, тогда существуют оба произведения АВ
и ВА, причём АВ=
, а ВА=
.
Пример 2. Если А=
, В=
,
то существует только произведение АВ
и оно равно
АВ =
=
.