1.5. Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы и заданы своими проекциями на оси координат , и или, что то же самое

, .

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

1. , или кратко . То есть при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются).

2. или короче . То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора и равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: , , , т.е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов и , заданных своими координатами.

Так как , то можно записать , где - некоторое число. То есть

.

Отсюда , , , т.е.

, , или .

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Для любой точки координаты вектора называются координатами точки . Вектор называется радиус-вектором точки , обозначается , т.е. . Следовательно, координаты точки – это координаты ее радиус-вектора

или .

Координаты точки записываются в виде .

Координаты вектора

Найдем координаты вектора , если известны координаты точек и . Имеем

.

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: .

2. Скалярное произведение векторов и его свойства

2.1. Определение скалярного произведения

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается , (или ). Итак, по определению,

, (6)

где .

Формуле (6) можно придать иной вид. Так как ,

а , то получаем:

, (7)

т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

2.2. Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: .

2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: .

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством: .

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

В частности: .

Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль , т.е. ( ).

5. Если векторы и (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. если , то . Справедливо и обратное утверждение: если и , то .

2.3. Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

и .

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов , , :

,

т.е. .

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.