ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Элементы векторной алгебры
Учебно-методическое пособие для вузов.
Составители: А.Д. Баев,
Л.Н. Баркова,
Е.В. Петрова,
В.В. Провоторов
ВОРОНЕЖ
2006
Утверждено научно-методическим советом математического факультета
07.09.2006 Года
Протокол №1
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений
в частных производных и теории вероятностей
математического факультета Воронежского госуниверситета
Рекомендуется для студентов 1 курса дневного отделения
химического факультета.
Для специальности «Химия» 020101 (011000).
1. Векторы
1.1. Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своими численными значениями, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своими числовыми значениями, но и направлением. Такие величины геометрически изображаются с помощью вектора.
Определение. Вектор – это направленный
прямолинейный отрезок, т.е. отрезок,
имеющий определенную длину и определенное
направление. Если
- начало вектора, а
- его конец, то вектор обозначается
символом
или
.
Вектор
(у него начало в точке
,
а конец в точке
)
называется противоположным вектору
.
Вектор, противоположный вектору
,
обозначается
.
Длиной или модулем вектора
называется длина отрезка и обозначается
.
Вектор, длина которого равна нулю,
называется нулевым вектором и обозначается
.
Нулевой вектор направления не имеет.
Вектор, длина которого равна единице,
называется единичным вектором и
обозначается через
.
Единичный вектор, направление которого
совпадает с направлением вектора
,
называется ортом вектора
и обозначается
.
Определение. Векторы
и
называются коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных
прямых; записывают
.
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Определение. Два вектора
и
называются равными (
), если они коллинеарны, одинаково
направлены и имеют одинаковые длины.
Из определения равенства векторов
следует, что вектор можно переносить
параллельно самому себе, а начало вектора
помещать в любую точку
пространства.
На рисунке векторы образуют прямоугольник.
Справедливо равенство
,
но
.
Векторы
и
- противоположные, следовательно,
.
Равные векторы называют также свободными.
Определение. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.
1.2. Линейные операции над векторами
Определение. Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Пусть
и
- два произвольных вектора. Возьмем
произвольную точку
и построим вектор
.
От точки
отложим вектор
.
Вектор
,
соединяющий начало первого вектора с
концом второго, называется суммой
векторов
и
:
.
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма.
На следующем рисунке показано сложение трех векторов , и .
Под разностью векторов
и
понимается вектор
такой, что
.
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая разностью.
Можно вычитать векторы по правилу:
,
т.е. вычитание векторов заменить сложением
вектора
с вектором, противоположным вектору
.
Произведением вектора
на скаляр (число)
называется вектор
(или
),
который имеет длину
,
коллинеарен вектору
,
имеет направление вектора
,
если
,
и противоположное направление, если
.
Например, если дан вектор
, то
векторы
и
будут иметь вид
и
.
Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:
1) если
,
то
.
Наоборот, если
,
(
),
то при некотором
верно равенство
;
2) всегда
,
т.е. каждый вектор равен произведению
его модуля на орт.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
.
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.