- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •1.1.Понятие динамической системы
- •2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •3. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •4.1. Алгебраический критерий устойчивости
- •4.2. Критерий устойчивости Найквиста
- •4.3. Оценка устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам
- •5. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •5.1. Оценка точности систем при детерминированных воздействиях
- •5.2. Оценка точности систем при случайных воздействиях
- •6. ОСНОВЫ СИНТЕЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •6.1. Методика выбора модели регулятора
- •6.2. Комбинированный способ поиска параметров регулятора
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 2
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
38
W(p) = 2p +1
34. p3 + 2p2 + p + 2 .
W(p) = k
35. p2 (1 + Tp) .
Известна передаточная функция разомкнутой системы. Определить значение постоянной времени T, при котором замкнутая система окажется на границе устойчивости.
36. W(p) = |
500 |
. |
p(0,02p +1)(Tp +1) |
= 100
37. W(p) p(2p +1)(Tp +1) .
38. W(p) = +10 + . p(4p 1)(Tp 1)
4.2. Критерий устойчивости Найквиста
Среди частотных критериев наиболее распространен критерий Найквиста. Он позволяет оценить устойчивость АС по АФЧХ, соответствующей разомкнутой системы.
Для минимально-фазовых систем этот критерий формулируется следующим образом:
для того, что бы АС, устойчивая или нейтральная в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии необходимо и достаточно,
чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы не охватывал точку М{-1, j0}
на комплексной плоскости при изменении частоты ω от нуля до бесконечности и повороте вектора АФЧХ W(jω) по часовой стрелке (рис.11).
39
Рис. 11. АФЧХ систем с различной устойчивостью
Существует логарифмическая форма частотного критерия Найквиста
(рис.12).
Рис.12. ЛАХ и ФЧХ систем с различной устойчивостью
Формулировка критерия в форме В.А. Бесекерского:
замкнутая АС устойчива, если ее ФЧХ пересекает ось частот правее места пересечения ее ЛАХ разомкнутой системы.
Это относится только к минимально-фазовым разомкнутым АС, нейтральным и устойчивым в разомкнутом состоянии.
40
Однако такой же универсальной, как основной критерий Найквиста является следующая формулировка:
замкнутая АС устойчива, если положительны все ее запасы по фазе.
Следствие из критерия Найквиста:
если разомкнутая система неустойчива, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ неустойчивой разомкнутой системы охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении
(против хода часовой стрелки) η/2 раз, где η-число «правых» корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
Графо-аналитический критерий (критерий Михайлова):
для устойчивости АС необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф)
Михайлова, начинаясь при ω=0 на вещественной положительной полуоси, с
ростом частоты ω от 0 до ∞ обходила последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов комплексной плоскости,
где n - степень характеристического уравнения (рис. 13).
Рис. 13. Вид годографов Михайлова для различных систем
41
Пример
Оценить устойчивость АС по критерию Михайлова, если известен характеристический полином замкнутой системы D(p)=p3+0,5p2+12p+5.
Решение. Для построения кривой Михайлова определим вещественную и мнимую части функции D(jω)
U(ω)=Re D(jω)=5-0,5ω2,
V(ω)=Jm D(jω)=ω(12-ω2).
Примерный вид кривой (рис.14) определяется по характерным точкам.
Рис.14 Вид годографа
При ω=0, U(0)=5, V(0)=0.
Из условия U(ω1)=0 находится ω1= 10 и V(ω1)= 6,4.
Из условия U(ω2)=0 находится ω1= 2 и V(ω2)= –1.
Кривая Михайлова последовательно проходит через три квадранта. Следовательно, система устойчива.
42
Задачи для самостоятельного решения
39.D(p)=p3+2p2+4p+10.
40.D(p)=p3+10p2+6p+2.
41.D(p)=2p3+4p2+3p+5.
Оценить устойчивость системы по известной кривой Михайлова и степени n характеристического уравнения (рис.15).
Рис. 15. Исходные данные
43
Оценить устойчивость замкнутых систем (рис. 16-17) по амплитуднофазовым характеристикам (с - число «правых» корней характеристического уравнения замкнутой системы).