§ 3-3. Динамические характеристики во временной области

Временными характеристиками линейной системы являются переходная функция h(t,t₁) или импульсная характеристикаw(t,t₁).

Импульсная характеристика w(t,t₁) — это реакция невозбужденной системы (т. е. при нулевых начальных условиях) в момент t при воздействии на нее импульсного воздействия в виде δ-функции вмомент t₁.

Экспериментальное определение импульсной характеристики поясняется рис. 3-3,а, 6. Однако проведение такого

Рис 3-3 Схема определения импульсной характеристики и переходной функции

эксперимента потребовало бы источника воздействия бесконечно большой мощности, что станет понятным, если рассмотреть свойства δ-функции. Последняя определяется следующим образом: она равна нулю везде, где ее аргумент отличен от нуля, равна бесконечности при нулевом аргументе, площадь ее при этом равна единице, что математически можно записать:

(3-15)

.

Графическое изображение δ-функции дано на рис. 3-3,б. δ-функцию можно получить в пределе из любого импульсного воздействия произвольной формы, имеющего единичную площадь, если начать неограниченно сжимать его по длительности и увеличивать по амплитуде так, чтобы площадь оставалась равной единице. Ясно, что при этом мощность источника такого импульса должна возрастать до бесконечности. Поскольку практически такое воздействие невозможно получить, то при экспериментальном определении импульсной -характеристики устойчивых систем либо довольствуются приближенным определением, давая ограниченные импульсные воздействия (длительность импульса при этом должна быть не менее, чем на порядок, меньше времени Т_п затухания реакции на импульс, рис. 3-3,б), либо определяют ее из выражения

.

Переходная функция h(t,t₁) —это реакция невозбужденной системы в момент t на единичное ступенчатое воздействие 1(t-t₁), приложенное в момент t₁ (рис. 3-3,в).

Основным свойством всех реальных систем является отсутствие реакции на воздействия, которые еще не приложены, что можно записать как

w(t,t₁)=0 приt<t₁(3-16)

Свойство (3-16) называют условием физической возможности (реализуемости) системы.

По виду импульсной характеристики системы делятся на:

а) устойчивые (с самовыравниванием), если для любых конечных t₁

; (3-17а)

б) неустойчивым, если

или отсутствует; (3-17б)

в) нейтральные, если

<(3-17в)

Системы (пункты б, в) называют также системами безсамовыравнивания.

Рис. 3-4 К выводу уравнения свертки

Как найти реакцию линейной системы у(t) на произвольное воздействиех(t), если известна импульсная характеристика системы?

Произвольное воздействие можно представить с любой степенью точности в виде последовательности импульсов шириной Δt_k(рис. 3—4). Если всеΔt_kвесьма малы, то каждыйk-й импульс в отдельности будет восприниматься системой, как близкий к δ-функции. Конечно, площадь такого импульса не равна 1 в общем случае, а равна величине. В соответствии, с принципом суперпозиции (3-1) реакция невозбужденной системы в фиксированный момент времени наблюденияt_п можно представить как (сумму реакций на последовательность таких импульсов. Поскольку реакция в моментt_п наk-е импульсное воздействие, приложенное в моментt_k, равна, то, суммируя реакции на все импульсы к моментуt_п получим, переходя в пределе к,

(3-18),

Для стационарных линейных систем реакция на импульсное воздействие зависит только от интервала времени между моментом приложения импульса и моментом наблюдения, поэтому

,

где .

Производя замену переменной в (3-18) и учитывая, что (t_п— фиксировано), получаем

(3-19)

Таким образом, получена связь между входным воздействием и выходной переменной (обычно индекс п у момента времени наблюдения опускают). Легко показать, что для невозбужденной системы, на которую начало действоватьх(t) в моментt=0, реакция равна

. (3-20)

Интегральное выражение (3-20) называют сверткой функций и обозначают

. (3-20)

Как видим, временные динамические характеристики дают связь между входом и выходом системы в форме интегрального уравнения. Поскольку такая .форма связи весьма неудобна при инженерных расчетах, рассмотрим еще один вид динамических характеристик.