Исследование на устойчивость

Определим устойчивость разомкнутой системы по критерию Гурвица.

Характеристическое уравнение имеет вид:

По критерию Гурвица для устойчивости системы 4 порядка должны удовлетворять следующие неравенства:

С₀ > 0; С₁ > 0; С₂ > 0; С₃ > 0; С₄ > 0

С₁С₂С₃–С₀С₃²–C₁²C₄>0

где - коэффициенты характеристического уравнения.

С₀=0,0063> 0; С₁ =6,3> 0; С₂ =0,16> 0; С₃ =90> 0; С₄ =1> 0

С₁С₂С₃–С₀С₃²–C₁²C₄=90,721008-51,03-39,6908=0

Так как все коэффициенты, но один определитель равен нулю, то по критерию Гурвица разомкнутая система находится на границе устойчивости.

Произведем расчет и построение годографа разомкнутой САУ и определим устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста:

Используем подстановку p=jw и раскроем скобки:

P(w)+jM(w)

Подставляем значения, получаем:

W	P(w)	M(w)
0	9	0
0,005	7,484432	-3,368
0,01	4,972415	-4,47521
0,02	2,122661	-3,82093
0,05	0,423517	-1,90626
0,1	0,109737	-0,98852
0,2	0,027671	-0,49987
0,5	0,00442	-0,20347
0,7	0,002244	-0,1479
1	0,001087	-0,10752
10	1,48E-05	0,001667
11	1,22E-05	0,001217
3,7	-0,00045	-0,6483
3,77	-0,0043	-5,21539
3,79	0,004111	4,798905
3,9	0,000416	0,396234

Строим АФЧХ разомкнутой системы:

Рис.3. АФЧХ разомкнутой системы.

Разомкнутая система на границе устойчивости.

Так как характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, то по критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении w от 0 до ∞ дополненная на участке разрыва дугой бесконечного радиуса ,не охватывала точку с координатами (-1;j0). Судя по графику данный дополненный радиус охватывает точку (-1;j0), значит замкнутая система не устойчива.

Расчет и построение ЛАЧХ и ЛФЧХ и определение устойчивости замкнутой системы по логарифмическому критерию Найквиста.

следовательно, передаточный коэффициент:

К = 9,

порядок астатизма Θ = 0

Сопрягающие частоты будут следующими:

Построим низкочастотную асимптоту ЛАЧХ:

так как Θ = 0, то ее наклон 0 дБ/дек и ордината низкочастотной части ЛАЧХ равна 20 lg 9=19 и низкочастотную асимптоту доводим до первой сопрягающей частоты .

На всех сопрягающих частотах наклон ЛАЧХ изменяется:

От до наклон ЛАЧХ будет -20Дб/дек, так как сопрягающая частота создана полиномом знаменателя 1 порядка. От до наклон ЛАЧХ будет -60дБ/дек, так как создан полиномом знаменателя 2 порядка. На высокочастотной части от до ∞ наклон ЛАЧХ будет -80 Дб/дек.

Используя таблицы поправок находим поправки на сопряженных частотах.

Построим ЛФЧХ разомкнутой системы. Степень астатизма равно 0, значит составляющие суммируются относительно прямой 0, нахождение составляющих соотвующих сопрягающим частотам используют таблицы «Логарифмические фазочастотные характеристики полиномов».

Рис.4. График ЛАЧХ разомкнутой системы

Рис.5. График ЛФЧХ разомкнутой системы

По логарифмическому критерию, если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно чтобы при положительной ЛАЧХ число пересечений ЛФЧХ уровня снизу вверх «+» должно быть на раз больше числа пересечений в обратном направлений «-» , где - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Т.к. из характеристического уравнения разомкнутой системы =0, то разность пересечений должно равно 0, судя по графику ЛАЧХ исходит из точки то есть имеется половина перехода, значит, замкнутая система неустойчива.