- •Введение.
- •Операции над событиями.
- •Частость наступления события.
- •Свойства частости.
- •Аксиоматика теории вероятности. Построение вероятностного пространства.
- •Теорема о продолжении меры.
- •Определение вероятностного пространства.
- •Классическое определение вероятности.
- •Условная вероятность.
- •Обоснование формулы условной вероятности в общем случае.
- •Независимые события.
- •Формула сложения вероятностей.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Байеса.
- •Композиция испытаний.
- •Композиция n испытаний.
- •Композиция n независимых испытаний.
- •Биномиальное распределение.
- •Случайная величина
- •Теорема Колмогорова
- •X1, x2, ..., Xn Дискретные случайные величины
- •X, y, z
- •Вероятностные характеристики дискретных случайных величин.
- •Свойства математического ожидания
- •Производная функция
- •Первая модель распределения Пуассона
- •Вторая модель распределения Пуассона
- •Непрерывные случайные величины.
- •Свойства плотности вероятности.
- •Второе эквивалентное определение плотности вероятности.
- •Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин.
- •Распределение Гаусса - нормальное
- •Функция Лапласа
- •Неравенство Чебышева
- •Многомерные случайные величины.
- •Аксиоматика. Формальная вероятностная модель.
- •Двумерные случайные величины.
- •Двумерные непрерывные случайные величины.
Двумерные непрерывные случайные величины.
Двумерная случайная величина называется непрерывнойслучайной величиной, если пространством ее элементарных событий является плоскость, либо область плоскости, либо область конечной ненулевой плоскости. Очевидно что X и Y являются одномерными непрерывными случайными величинами.
Следствием этого определения является следующее: любое сложное событие размерности 1 (произвольная кривая, принадлежащая пространству элементарных событий) имеет нулевую вероятность т.к. в противном случае вероятность достоверного события никогда бы не равнялась единице. Числовая скалярная функция двух действительных аргументов называется двумерной плотностью вероятности, двумерной случайной величины XY, если для фиксированных значений своих аргументов она выполняет равенство. Приведенное здесь определение является аналогичным определению одномерной плотности вероятности.
Ниже будет выведено условие существования плотности вероятности для фиксированных x, y.
Рассмотрим произвольную область G.
f(xi,
yj)xiyj)
- вероятность попадания в элементарный
объем, примыкающий к точке i, j.
Разобьем область G на множество прямоугольников, покрывающих область G. Тогда на основании 3-й аксиомы теории вероятности имеем: вероятность искомого события равна:
. Точное выражение получим перейдя к пределу:(показать самим).
Числовая скалярная функция двух действительных аргументов называется двумерной функцией распределения, если она при фиксированном числе своих аргументов численно равна вероятности наступления Fx,y(x,y)=P(Xx, Yy), если X, y - непрерывные случайные величины, то значение функции распределения не изменится.
Доказать:
По определению второй смешанной производной.