16.4. Элементы линейной теории лбв

Основная особенность процессов в ЛБВ, иллюстрируемых рис. 16.7, связа­на, как уже отмечалось, с совмещением процесса группировки электронов при их пролете в ячейках замедляющей системы с процессом отбора энергии от них в каждой ячейке. Напомним, что в клистронах процессы группировки и энергообме­на разделены и лишь в выходном резонаторе, где сгусток попадает под воздейст­вие большого наведенного там напряжения, приходится говорить об эффекте са­мосогласования (см. § 15.4.2).

В отличие от клистронов в ЛБВ принципиальное совмещение процессов группировки и энергообмена приводит к необходимости даже в малосигнальном приближении строить теорию этих приборов как решение самосогласованной задачи. Это обстоятельство существенно усложняет теорию ЛБВ и делает ее мало­наглядной даже при использовании ряда упрощающих предположений. Поэтому (как и в случае многорезонаторного клистрона) ограничимся изложением лишь основных идей, лежащих в основе теоретических выводов. Если при качествен­ном рассмотрении процессов в ЛБВ с помощью ПВД был удобен дискретный под­ход, то изложение основ теории ЛБВ удобнее проводить в рамках волнового под­хода, как непрерывное взаимодействие потока с волной.

Смысл самосогласованного описания сводится к тому, что задача исследо­вания взаимодействия потока с волной разбивается на две задачи. В процессе решения первой из них электромагнитная волна считается заданной, причем рассматривается не вся несинусоидальная по координате z волна, а находящая­ся в синхронизме с электронами ее пространственная гармоника:

(16.18)

где постоянная распространения соответствующей гармоники в общем случае включает в себя как активную , так и реактивную составляющие (). Состав­ляющая определяет изменение амплитуды волны ; в процессе ее взаимодействия с потоком в замедляющей системе, составляющая– фазовую скорость волны вдоль замедляющей системы (напомним, что в результате «горячих» добавок к полю при взаимодействии фазовая скорость волны в общем случае отличается от фазовой скорости в «холодной» замедляющей системе, т.е. при отсутствии потока).

При заданной величине определяется конвекционный ток, возникаю­щий в процессе взаимодействия с волной (16.18) и характеризующий происходя­щую группировку электронов:

(16.19)

При решении второй задачи заданным считается ток и определяется возбуждаемое им, т.е. сгустками, в замедляющей системе поле волны

(16.20)

Затем уравнение движения (16.19) и уравнение возбуждения (16.20) реша­ются совместно:

(16.21)

причем конечной целью решения системы (16.21) является определение посто­янной распространения волны . Действительно, зная величину входного сигна­ла, т.е. поле в начале замедляющей системы, по величинеможно определить поле в любом ее сечении и, в частности, на выходе.

Ограничимся малосигнальным одномерным приближением, предполагая гармонический характер происходящих в замедляющей системе процессов. При этих допущениях, используя уравнение движения

(16.22)

в котором входящее в полное поле , поле пространственного зарядаопределяется из совместного решения уравнения непрерывности:

(– переменная составляющая плотности пространственного заряда) и уравне­ние Пуассона:

после ряда преобразований можно получить уравнение (16.19) в виде

(16.23)

(здесь – плазменная частота, определяемая выражением (15.35)). Уравнение возбуждения (16.20) с использованием введенного выше (см. (16.12)) сопротив­ления связиR_cв может быть записано в виде

(16.24)

Совместное решение уравнений (16.23) и (16.24) дает для постоянной распространения характеристическое уравнение третьей степени, в результате решения которого определяются три значения,и, что истолковывается следующим об­разом. Поступающая на вход замедляющей системы волна (16.18) в процессе взаи­модействия с потоком превращается в три волны, каждая из которых имеет свою по­стоянную распространения. Как показывают расчеты, первая волна имеет положи­тельную активную составляющую> 0, т.е. затухает, вторая волна имеет активную составляющую =0, т.е. распространяется без изменения амплитуды, а третья вол­на имеет отрицательную постоянную распространения < 0, т.е. нарастает по мере движения вдоль замедляющей системы.

Пренебрегая при достаточно большой длине замедляющей системы первой (затухающей) и второй (ненарастающей) волнами по сравнению с третьей (нарастаю­щей) и учитывая, что амплитуда каждой из трех волн на входе равна , получаем для амплитуды нарастающей (усиливаемой) волны на выходе системы

(16.25)

где , – длина замедляющей системы вдоль оси z; .

Соотношение (16.25) позволяет получить для коэффициента усиления ЛБВ следующее выражение:

(16.26)

где – электрическая длина замедляющей системы.

Учитывая большое число допущений, сделанных при выводе выражения (16.26) и ограничивающих его точность [например, сле­дующий из (16.26) ошибочный вывод о неограниченном нарастании коэффициента усиления при увеличении длины ], рассмотрим да­лее характеристики ЛБВ качественно, используя при этом ПВД.