10.3. Дискретное преобразование хартли

Формулы преобразования.Как обычно, для представления функций с равномерной дискретизацией примем обозначение s(nt). Количество отсчетов функции равно N, интервал задания [0, N-1]. Приt = 1 альтернативное обозначение функций s(n)s_n. Прямое и обратное преобразование Хартли (ДПХ) в общей форме:

Sh(mf) = (1/N)s(nt) cas(2mf nt), n = 0…N-1, (10.3.1)

s(nt) =Sh(mt) cas(2mf nt), m = 0…M-1. (10.3.2)

Здесь: М – количество отсчетов спектральной функции с шагом дискретизации по частоте f. Как и в преобразовании Фурье, дискретизация сигнала вызывает периодизацию частотных функций с аналогичными нормами корректности преобразования. Частота Найквиста для главного частотного диапазона f_N= 1/2t, главный частотный диапазон вычислений от 0 до 2f_N(приt=1 от 0 до 1), оптимальный и достаточный шаг частотной дискретизации для сохранения всей сигнальной информации и восстановления сигнала при обратном преобразовании без погрешностиf = 1/N. Пример преобразования приведен на рис. 10.3.1.

Рис. 10.3.1. Дискретное преобразование Хартли.

Спектры числовых рядов.При обработке произвольных рядов данных значениеt по умолчанию принимается равным 1 и формулы (10.3.1-10.3.2) применяются в следующем виде:

Sh(m) = (1/N)s(n) cas(2m n/N), (10.3.1')

s(n) =Sh(m) cas(2m n/N). (10.3.2')

Спектр сигналов является непрерывной функцией. Оптимальная дискретизация спектра при малом количестве данных может существенно искажать форму спектра, и для визуального просмотра шаг дискретизации может быть уменьшен, как это показано на рис. 10.3.1 для спектра Sh1. Однако при этом следует учитывать, что при уменьшении шага спектра в k-раз для восстановления сигнала из спектра требуется выполнять расчет с увеличением в k раз количества точек спектра М.

Рис. 10.3.2.

Это объясняется тем, что спектр Хартли в главном диапазоне не имеет избыточности, как это характерно для преобразования Фурье (комплексная сопряженность). В диапазоне главного периода [-M/2, M/2], спектр Хартли в общем случае представляет собой произвольную функцию (рис. 10.3.2). При смещении расчетного диапазона спектра в интервал [0, M-1], что выполняется для ускорения расчетов и исключения отрицательного индексирования отсчетов, восстановление сигнала по интервалу [0, M/2] невозможно, за исключением четных и нечетных функций, где информационная избыточность заложена в задании самой функции.

Свойства дискретного преобразованияпо своей сущности аналогичны свойствам непрерывного преобразования. С учетом смещения расчетного главного диапазона спектра в область положительных индексов на половину периода, значениям Sh(-m) соответствуют значения Sh(M-m) и, соответственно, несколько изменяются формулы свойств преобразования. Из чисто практических соображений построения алгоритмов расчетов заметим, что при m=0 значениям Sh(M-m) должно соответствовать значение Sh(0). Для сохранения общности алгоритмов это выполняется расчетом спектров в формулах (10.3.1) не до индекса M-1 (при M=N), а до индекса М (с сохранением предела суммирования М-1 в формулах обратного преобразования).

Вычисление четной и нечетной составляющих:

Sh_sym(m) = [Sh(m)+Sh(M-m)]/2, (10.3.3)

Sh_asym(m) = [Sh(m) - Sh(M-m)]/2. (10.3.4)

Связь с преобразованием Фурье:

S(m) = Sh_sym(m) – j Sh_asym(M-m), (10.3.5)

Энергетический и фазовый спектры:

Wh(m) = [Sh²(m)+Sh²(M-n)]/2. (10.3.6)

(m) = argtg(-[Sh(m) - Sh(M-n)] / [Sh(m)+Sh(M-n)]). (10.3.7)

Сдвиг сигнала. Смещение на полпериода нумерации отсчетов вызывает изменение знака синусного члена [32]:

s(n-n_o)= cos(2mn_o/N) Sh(m) - sin(2mn_o/N) Sh(M-m). (10.3.8)

Преобразование производной:

s'(n) = (2m/N) Sh(M-m). (10.3.9)

Функция корреляции:

B_s(k) = s(n), s(n+k) 0.5 [Sh²(m) + Sh²(M-m)] = Wh_s(m). (10.3.10)

Преобразование свертки:

s(n)_*u(n) 0.5N[Sh(m)Uh(m)-Sh(M-m)Uh(M-m)+Sh(m)Uh(M-m)+Sh(M-m)Uh(m)]. (10.3.11)

Цифровая фильтрация методом свертки.Выполнение свертки через преобразование Хартли полностью аналогично циклической свертке через преобразование Фурье:

s(n) = x(n)_*y(n)Xh(n)Yh(n) = Sh(n)s(n). (10.3.12)

Рис. 10.4.1. Свертка функций во временной и спектральной области.

Как и для ДПФ, при фильтрации сигналов с выполнением свертки через частотную область ДПХ для исключения наложений от боковых периодов на сигнал главного периода интервал задания сигнала следует продлевать (нулями, значениями фона или тренда) на длину оператора фильтра, для симметричных операторов – с обеих сторон интервала. После выполнения этой операции длина самого оператора фильтра, которая обычно много меньше длины сигнала, также должна продлеваться до количества задания отсчетов сигнала с учетом его продления, т.к. умножение спектров сигнала и фильтра требует равного количества отсчетов их спектрального представления.

Двумерная дискретная фильтрация.Спектр Хартли функции s(k, n), представленной в виде матрицы размера К x N (k=kx, n=ny), имеет вид вещественной матрицы Sh(m, p) также размером K x N, при этом прямые и обратные преобразования матриц записываются в виде:

Sh(m, p) = (1/KN)s(k, n) cas(2kn/K+2kn/N), (10.3.13)

s(k, n) = (1/KN)Sh(m, h) cas(2kn/K+2kn/N). (10.3.14)