Задание № 15.

1. Сформулируйте и запишите общее уравнение динамики в векторной и аналитической формах.

2. Две материальные точки А и В, соединенные тонким стержнем длины l, движутся в вертикальной плоскости таким образом, что скорость середины стержня всегда направлена вдоль стержня от точки А к точке В. Какой тип связи наложен на эту механическую систему? Запишите математическое выражение для этой связи и определите число степеней свободы данной системы.

3. Груз А массой m, кг движется вниз по шероховатой наклонной плоскости, наклоненной под углом  к горизонту. Коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость равен f. К грузу привязана невесомая и нерастяжимая нить, которая наматывается на барабан В радиусом R, м. Барабан вращается под действием вращающего момента М относительно неподвижной горизонтальной оси С, проходящей через его центр. Вычислить обобщенную силу, выбирая в качестве обобщенной координаты угол поворота барабана В.

4. Механизм, изображенный на рисунке, находится в равновесии. Для заданного положения механизма, определить отношение возможных перемещений точек А и В.

5. Коэффициент инерции механической системы с одной степенью свободы равен 4, коэффициент жесткости – 28, а обобщенный коэффициент сопротивления – 32. Запишите дифференциальное уравнение собственных колебаний при наличии линейного сопротивления для данной механической системы. Какому случаю сопротивления соответствует данное уравнение? Вычислите коэффициент затухания и запишите вид решения уравнения для данного случая, если .

6. Однородная прямоугольная пластина АВСD может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси О₁О₂, лежащей в ее плоскости и проходящей через центр тяжести пластины. Стороны пластины равны: АВ = b, м, BC = a, м (b > a). Ось вращения в точке О₁ закреплена с помощью подпятника, а в точке О₂ – подшипника. Определить положение центра удара пластины, если на нее действует ударный импульс.

Задание № 16.

1. Запишите уравнения Лагранжа II рода. Объясните какие величины используются при записи уравнения Лагранжа II рода. Сколько этих уравнений можно составить для данной механической системы.

2. Груз А массой m, кг движется в вверх по шероховатой наклонной плоскости, наклоненной под углом  к горизонту. Коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость равен f. К грузу привязана невесомая и нерастяжимая нить, намотанная на барабан В радиусом R, м. Барабан вращается относительно неподвижной горизонтальной оси С, проходящей через его центр. К барабану приложен вращающий момент М. Вычислить обобщенную силу, выбирая в качестве обобщенной координаты угол поворота барабана В.

3. Ползун А массой m₁, кг скользит в поле сил тяжести вниз по прямолинейной направляющей, направленной под углом 60⁰ к горизонтальной прямой, а ползун В массой m₂, кг скользит по горизонтальной направляющей вправо. Ползун А имеет в данный момент ускорение а_а = 3,6 мс^-2. Ползуны А и В связаны посредством цилиндрических шарниров невесомым стержнем. Используя общее уравнение динамики определить ускорение ползуна В, если стержень образует угол  = 60⁰ с прямой по которой скользит ползун А.

4. Механизм, изображенный на рисунке, находится в равновесии. Для заданного положения механизма, определить отношение возможных перемещений точек А и В.

5. Дифференциальное уравнение малых собственных движений механической системы с одной степенью свободы при наличии линейного сопротивления имеет вид: . Объясните, какому случаю сопротивления соответствует данное уравнение? Вычислите коэффициент затухания. Как называется движение, определяемое данным уравнением? Запишите решение данного уравнения, если .

6. Однородный круглый диск радиуса R, м может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси О₁О₂, лежащей в его плоскости и проходящей через центр тяжести диска. Ось вращения в точке О₁ закреплена с помощью подпятника, а в точке О₂ – подшипника. Определить положение центра удара диска, если на него действует ударный импульс.