Вопросы для самопроверки.
Дайте определение области сходимости функционального ряда. Приведите примеры рядов с различными областями сходимости.
Дайте определение понятия равномерной сходимости последовательности функций. Какой ряд называется равномерно сходящимся?
Сформулируйте признак Вейерштрасса абсолютной и равномерной сходимости ряда.
Сформулируйте основные свойства равномерно сходящихся рядов.
Докажите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.
Выведите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.
Разложите функцию
в степенной ряд и докажите с помощью
остаточного члена сходимость полученного
ряда к данной функции.Разложите функцию в степенной ряд и докажите с помощью остаточного члена сходимость полученного ряда к данной функции.
Разложите функцию
в степенной ряд и найдите интервал
сходимости полученного ряда.Приведите пример оценки точности вычисления суммы знакочередующего ряда.
Приведите пример применения остаточного члена формулы Тейлора (в форме Лагранжа) к оценки точности вычисления с помощью степенного ряда.
Изложите метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Приведите пример.
3. Ряды Фурье.
Тригонометрические ряды играют важную роль в математике как аппарат изучения функций. Это объясняется тем, что для разложения в тригонометрический ряд функция не должна удовлетворять столь жестким требованиям, которые предъявляются к ней при разложении, например, в степенной ряд (в степенные ряды разлагаются даже не все бесконечно дифференцируемые функции). Велико значение тригонометрических рядов в приложениях, где их применяют при решении ряда задач математической физики, в электротехнике, метрологии и т. д. Чаще всего ряды Фурье используют при изучении периодических процессов.
Вопросы для самопроверки
Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье.
Сформулируйте достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье. Приведите примеры функций, удовлетворяющих и не удовлетворяющих этим условиям.
Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье для четных и не четных функций.
Представьте ряд Фурье в комплексной форме.
4. Уравнение математической физики.
К решению волнового уравнения сводятся задачи о поперечных колебаниях струны и продольных колебаниях стержней, о звуковых и электромагнитных колебаниях, о колебаниях газа и многие другие задачи о распространении колебаний в однородной среде. К решению уравнения теплопроводности сводятся задачи о распространении тепла в однородной среде, о фильтрации жидкостей или газов и др. задачи.
Пример. Найти решение уравнения с частными производными
удовлетворяющее
краевым условиям:
Решение: Пользуясь
методом Фурье, полагаем
Тогда заданное
уравнение преобразуется к виду
и распадается на два уравнения
и
решая которые, найдем
где
и
- произвольные постоянные.
Используя условие
получим
откуда следует:
Каждому значению
соответствует частное решение
сумма которых
также будет решением данного уравнения
(
)
Используя условие
при
,
получим для определения
равенство
Это равенство есть
разложение в интервале (0, 1) данной
функции
в неполный ряд Фурье, содержащий только
синусы. Поэтому
(**)
Таким образом, сумма ряда (*), коэффициенты которого определяются формулами (**), есть частное решение данного уравнения, удовлетворяющее данным краевым условиям.