f

0,15

0,10 0.05

^Х1 ^Х2 ^х3 ^ХЛ ^х5 Ч ^х7 ^'В 1 *

Риг,. 2.6 Распредг тени, дискретной случай юи величины

2*

35

Ц| «тральные момент ы к-то порядка рассчип шаю ся по формулам

■Ню

ц_в = j{x-m,)^k J(x)dx₇

-СО

л

Ц* =E(*i -»«■> Pi- 1=1

Из центральных моментов особенно важную роль играет второй момент (к = 2). дисперсия слу чайной величина D

D = \(x-m.)^lf{x)dx.

- (2 5)

Л

D-

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений. Дисперсия имеет размерное гь квадрата случайной ве­личины и выражает как бы мощное гь par ;еяния относительно постоян­ной составляю. 1ей Однако чаще пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии — средним квадратическим отклонением (СКО), которо имеет ргзмерность самой случайной величины.

Оценка результата измерения Задача состоит в том, чтобы по по­лученным экспериментальным пу тем результатам наблк гний, содержащим случайные norpei лтоетт am и оценку метанного значения измеряемой ве­личины — результат измерения Будем полагать что '••«тематические по • грешности в резу пьтатах набтю гний отсутствую ИлИ исключены

К оцег кам, по 'учаемым по статистическим данным предъявляют, я требован 1Я состоятельности, несмещенное ти и >ффективности. Оценка назыв »ется , о тоятелънои если .три увели ,ении числа наблюдений она стремится к истинному значению оценив?емой величины.

Оценка называется несмещенн <и если ее математическое ожида^ыие равно i стинному значению оцениваемой величины В том случае, koi да мг жно найти несколько несмещенных оценок, лучшей из них считается та, которая имеет наименьшую дисперсию Чем меньше дисперсия оцен­ки, тем более эффективной счи гают эту оценку.

Способы нахождения оценок результата зависят от вида функции распределения и от имеющихся соглашений по этому вопросу, регла­ментируемых в раьлсал законодательной метрологии Общие соображе­ния по выбору оценок заключаются в следующем

Распределения погрешностей результатов наблюдений как прави ю, являются симметричными относительно центра распределения, поэтому исгиньое значение измеряемой челичиьы может быть определено как координата ц< нтра рассеивания х_ц. т е. центра симметрии распределения случайной погрешность (при условии, что систематическая погрешность исключена) Отсюда следует принятое в метро югии правило оценивания случайной погрешности в виде ин герва к симметр ичного относитель .о

результата измерения (x_u ± Ах) Координата х_ц может бьпь найдена не­сколькими способами Ьаиболее общим является определение центра симметрии из npi :ципа симметрии вероятностей т.е нахождение такой точки на оси х, слева и справа от ко >орои вероятное ги появления раз­личных значений случайных погрешностей равны между собой и состав п яют Р, - Р₇ = 0,5. Такое значение х„ назглвается медианой.

Координата х„ может быть определена и как центр тяжести распре­деления, т.е как математическое ожидание случайной величины

При ассиметричной кр той плотности расределеьия вероя, ностей оценкой центра распределения може г служи' ъ абсцисса моды распреде­ления, те координата максимума платности. Однако есть распределе­ния, у которых не существует модь. (например, равномерное), и распре­деления, у которых не существует математического ожидани,,

В практике измерений встречаются различные формы кривой закона распределения,, однако чаще всего имеют дело с ноАаль ным и равно­мерным распределением плотности вероятностей

Учитывая многовариантность подходов к выбору оценок и в целях обеспечения единства измерении, правила обработки результатов на­блюдений обычно pei гтаментируются нормативно-техническими доку­ментами (стандартами, методическими указаниями, инс грукциями) Так, в ci андарте на методы обработки результатов прямых измерений с мно­гократными наблюдениями указывается что приведенные в нем методы обработки установлены для результатов наблюдений, лрина/¹ тежащих нормальному распределению

Норма 1ыюе распределение Нормальное распределение плотности вероятности (рис. 2.7) характерно тем. что, согласно центральной пре­дельной теореме Теории вероятностей такое распределение имеет сумма бесконечно большого числа бесконечно малых случайных возмущений с любыми распределениями Применительно к измерениям это означает, что нормальное ра тределение случайных погрешностей возникает то­гда, когда на результат измерения действует множество случайнь х воз ■ мушений, ни одно из коюрых не является лреобладак щим. Прак тически, суммарное воздействие даже сравнительно небольшого числа лозмущений приводит к закону распределе ния результатов и погрешно­стей измерений, близкому к нормальному

ЯА

0 Ах,Ах₂Дх₁ Ах б

Рис. 2.7. Кривые нормального распределения

т,

'х

а

о

В аналитической форме нормальный закон распределения вь пажает ся формулой

1

(2 6)

ex.

Г-Лп

(х-т_ху

2о

где х — случайная величина; т_д. — математическое ожидание случайной величины: с — среднее квадратическое отклонение.

Поренегя начало координат в центр ра< предел< ния и, и отклады

вая по оси абсцисс погрешность Лх = х — m_v получим кривую нормаль ного распределения п эгрешчостеи

1

Ах

(2 7)

ехр

2а

/<Д*> =

Дтя _tpynnbi из п наблюдений распределенных по нормальному за­кону

1 "

^тх = - 5>« |

(2 9)

^п< I

Ъ'ТЫ

Обратим внимание на .тесколько свойств нормального распределе­ния погрешностей.

Кривая нормального ра тределения погрешностей ^гимметр"чна отно­сительно оси ординат Это означает что погр< шности одинаковые по ве­личине, но притивопогожные по знаку имеют одинаковую плотность ве­роятностей, т.е. при большом числе наблюдений встречаются одинаково часто. Математическое ожил шие случайной погрешности равно нулю

Из характера кривой следует что при нормальном законе распреде­ления малые погрешности будут встречаться чаще, чем большие. Гак, вероятность появления погрешностей, укладывающихся в ин1ервал от О ао ДХ], характеризуема» площадью 5,, будет зкачительно больше, чем вероятность появления погрешностей в интервате от Ах-_ до Дх, (пло­щадь S-)

(2 8)

На рис. ? 8 изображены кривые нормального распределения с раз личными средними квкщратическими отклонениями причем а. >ст₂>о₃.

Сравнивая кривые 1.*ежду собой можно убедиться, что чем меньше СКО, тел: меньше рас» еяние результатов наблю дений и тем больше вероятность того, что большинство случайных погрешно­стей в них будет мало Естественно за­ключить что качество измерений тем выше, чем меньше СКО случайных по­грешностей

Рис. 2 8. Рассеягие результатов наГ водений

/м

Если случайная '"личина х при­нимает значения пишь в пределах не­которого конечного интервала от х, до х₂ с постоянной плотностью вероят­ностей (рис. 2 9). то такое ра( пределе ние называется равномерным и описывается соотношениями

(2 10)

/(х) = с, при х, й х й х_г, /(х) = Q. прч х<х, и х> х_г.

Рис 2 9 ^равн мерно¹; распределение v учайной величии! i

Так как пло] дадь. ограниченная кривой распределения равна едини­це, то

с(х₂ - х,) = 1

и

с = -

1

(211)

С учетом (2.11) плотность рас педеления

fix)-

1

прих, <х<х₂;

х_г X,

/(х) = 0. лрих<х,, х>х₂. Математическое ожидание величины х

т, =-