Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной и многих переменных.

ТЕМА 3.1. Функция, дифференцируемая в точке. Дифференциал и производная функции. Правило нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функции. Производная функции, заданной неявно или в параметрическом виде. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

[2], гл. 4,8.

[4], гл. 3. §§ 1-10, 12, 13, 15, 20, 21, 26.

[5], задачи №№ 5.21-5.28, 5.33, 5.37, 5.39, 5.43, 5.47, 5.59, 5.63, 5.83, 5.85, 5.89, 5.327, 5.239, 5.284, 5.286.

Знать: определение производной, ее геометрический и механический смысл; правило дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций, а также сложной и обратной функции; производные элементарных функций; определение дифференциала, его геометрический смысл; уравнения касательной и нормали к кривой.

Уметь: доказать теорему о связи непрерывности и дифференцируемости функции; находить производные функции; доказать теоремы о производной суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций; находить уравнения касательной и нормали к графику кривой в данной точке; находить дифференциал функции.

После изучения темы 3.1 рекомендуется решить одну из задач Вашего варианта из №№ 91-100.

Тема 3.2. Производные и дифференциалы высших порядков; инвариантность формы первого дифференциала; дифференцирование функции, заданной параметрическими уравнениями.

[2], гл. 4, 9, 10,11.

[4], гл. 3, 11, 16-18, 22-25.

[5], задачи №№ 5.184-5.187, 5.188, 5.190, 5.218, 5.225, 5.226, 5.231, 5.233, 5.308.

Знать: правило дифференцирования функции, заданной неявно; правило нахождения производной функции, функции, заданной параметрическими уравнениями; теорему об инвариантности формы первого дифференциала; механический смысл второй производной.

Уметь: находить вторую производную функции.

После изучения темы 3.2 можно приступить к решению одной из задач Вашего варианта №№ 101-110.

ТЕМА 3.3. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма, Роля, Лангража, Коши. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Лангража и Пеано. Представление по формуле Маклорена функций .

[2], гл. 4. §§ 12-16.

[4], гл. 4. §§ 1-7.

[5], задачи №№ 5.317, 5.318, 5.329, 5.330, 5.334, 5.339, 5.340, 5.343, 5.368, 5.379, 5.391.

Знать: определение точки экстремума функции; теоремы Роля, Лангража, Коши, правило Лопиталя формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Лангража и Пеано.

Уметь: доказывать теоремы Ферма, Роля, Лангража, Коши; применять правило Лопиталя для нахождения пределов; разлагать в ряд Маклорена элементарные функции; оценивать ошибку при замене функции ее разложением по формуле Маклорена с конечным числом слагаемых.

ТЕМА 3.4. Условие монотонности функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функций, дифференцируемых на отрезке; точки перегиба; асимптоты функции; общая схема исследования функции и построения ее графика.

[2], гл. 4. §§ 17-22.

[4], гл. 5. §§ 1-10.

[5], задачи №№ 5.404-5.410, 5.418, 5.438, 5.445, 5.457, 5.462, 5.465, 5.484, 5.500, 5.512.

Знать: определение выпуклости графика функции, точки перегиба, необходимые и достаточные условия монотонности функции, существование экстремума, выпуклости графика функции; правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке; схему исследования функции.

Уметь: доказывать теоремы о необходимых и достаточных условиях экстремума функции; определять интервалы монотонности функции, интервалы выпуклости графика функции; находить асимптоты графика, находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке; находить точки перегиба графика функции; строить эскизы графиков функции.

После изучения тем 3.3 и 3.4 рекомендуем решить одну из задач Вашего варианта из №№ 110--120.

ТЕМА 3.5. Понятие функции нескольких переменных. Непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лангража.

[2], гл. 8. §§ 11-17, 19.

[4], гл. 8. §§ 1-12, 14, 15, 17, 18.

[5], задачи №№ 7.4, 7.8, 7.32, 7.58, 7.60, 7.95-7.97, 7.101, 7.140, 7.142, 7.187, 7.193, 7.201-7.207, 7.213, 7.233 (а,б,в).

Знать: определение непрерывности и частной производной функции нескольких переменных; теорему о равенстве смешанных производных второго порядка у дифференцируемой функции двух переменных; определение градиента, его свойства; определение экстремума функции нескольких переменных; необходимый и достаточный признаки существования экстремума функции; определение выпуклого множества и выпуклой функции; определение выпуклого множества и выпуклой функции.

Уметь: находить частные производные любого порядка; находить градиент и производную по направлению в данной точке; приближенно находить значение функции, заменяя ее приращение дифференциалом; находить дифференциал функции двух переменных; находить точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Литература. [3], гл. 10, § 1-6.

Упражнения к гл. 10: 1-7, 8-101, 102-126, 127-146.

[4], задачи 6.15-6.28, 6.44-6.60, 6.114-6.143.

После изучения темы 3.5 рекомендуем решить одну из задач Вашего варианта из №№ 130--160.

Знать: определения первообразной и неопределенного интеграла; свойства неопределенного интеграла; таблицу интегралов.

Уметь: интегрировать методом замены переменной, интегрировать по частям.