2). Лоду с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим неоднородное ЛДУ -го порядка с постоянными коэффициентами
.
(11)
1) Пусть первая часть
,
где
-
многочлен степени
.
а) Если
не является корнем характеристического
уравнения, тогда частное решение
неоднородного уравнения ищется в той
же форме, т.е.
,
где
-
не определены. Для их нахождения нужно
продифференцировать
раз и подставить его в уравнение (11). А
дальше коэффициенты находятся аналогично
способу неопределенных коэффициентов
при интегрировании, т.е. приравниваются
коэффициенты при одинаковых степенях
.
Пример: Найти
частное решение уравнения
.
Составляем
характеристическое уравнение
,
корни его
,
.
Значит,
не является корнем характеристического
уравнения.
Будем искать
частное решение в виде
.
Найдем первую и вторую производные
,
.
Подставим в уравнение:
.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева, получим
,
;
б) Пусть
является корнем характеристического
уравнения кратности
.
Тогда частное решение ищется в той же
форме, но с сомножителем
,
т.е.
.
И далее аналогично пункту а).
Пример.
.
Характеристическое
уравнение
имеет корни его
,
.
Значит,
является корнем характеристического
уравнения кратности один. Поэтому
частное решение надо искать в виде
.
Пример:
.
Характеристическое
уравнение
имеет корни корень
кратности два, т.е.
.
Поэтому решение ищем в виде
.
Продифференцируем его дважды:
,
и подставим в уравнение. Вынося и экспоненту, получим
,
Частным решением является функция
.
2) Пусть правая часть уравнения (11) есть
.
а) Если
комплексное число
не является корнем характеристического
уравнения, тогда частное решение
неоднородного уравнения ищется в виде
,
где
-
многочлены степени
с неопределенными коэффициентами.
Пример:
.
Характеристическое
уравнение
можно представить виде
,
т.е.
,
значит
не является корнем характеристического
уравнения. Решение будем искать в виде
.
,
,
.
Подставляя эти производные в уравнение, после сокращения получим
.
Следовательно, частным решением является функция
.
б) Если
является корнем характеристического
уравнения кратности
,
тогда частное решение неоднородного
ЛДУ (11) ищется в виде
,
.
Пример:
.
Характеристическое
уравнение
имеет корни
,
следовательно,
является корнем кратности
.
Поэтому решение следует искать в виде
.
3)
Пусть правая часть неоднородного ЛДУ
представляет сбой сумму числа функции,
т.е. 
.
Для наглядности рассмотрим, когда правая часть сумма двух функций
.
Будем решение
искать в виде
.
Тогда, подставляя его в уравнение и пользуясь свойством линейного дифференциального оператора, получим
или
.
Таким образом,
если правая часть уравнения представляет
собой сумму
функций, то уравнение разбивается на
уравнений с этими новыми правыми частями.
Найдя частное решение каждого неоднородного
уравнения, получим частное решение
исходного уравнения в виде суммы частных
решений этих
уравнений.