Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
(4)
где правая
часть есть произведение функции,
зависящей только от
,
на функцию, зависящую только от
.
Предполагая, что
,
преобразуем его следующим образом:
.
(
)
Считая
известной функцией от
,
равенство (
)
можно рассматривать как равенство двух
дифференциалов, а неопределенные
интегралы от них будут отличаться
постоянным слагаемым.
Интегрируя левую часть по , а правую по , получим
.
Мы получили
соотношение, связывающее решение
,
независимое переменное
и произвольную постоянную
,
т.е. получили общий интеграл уравнения
(4).
Дифференциальное уравнение типа ( ) или вида
(5)
называют
уравнением с разделенными переменными.
Общий интеграл его есть
.
Уравнение вида
,
(6)
в которых коэффициенты при
дифференциалах распадаются на множители,
зависящие только от
и только от
,
называется уравнением с разделяющимися
переменными.
Путем деления
обеих частей на произведение
они приводятся к уравнениям с разделенными
переменными:
или
,
т.е. к уравнению вида (5). Общий интеграл этого уравнения имеет вид
.
Определение 1.
Функция
называется однородной функцией
-го
измерения относительно переменных
и
,
если при любом
справедливо тождество
.
Пример:
1)
;
- однородная функция первого измерения.
2)
;
- однородная функция третьего измерения.
3)
;
- однородная функция нулевого измерения.
Определение 2. Уравнение первого порядка
(7)
называется
однородным уравнением, если функция
есть однородная функция нулевого
измерения относительно
и
.
Метод решения
однородного уравнения следующий. По
условию
.
Положим в этом тождестве
,
получим
,
т.е. однородная функция нулевого измерения
зависит только от отношения аргументов.
Уравнение (7) в этом случае примет вид
(8)
Сделаем
подстановку
,
т.е.
.
Тогда будем иметь
.
Подставляя это выражение производной в уравнение (8) получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными:
,
.
Интегрируя, найдем
.
Подставляя после
интегрирования вместо
отношение
,
получим интеграл уравнения (8).
Замечание.
Уравнение вида
будет однородным в том и только в том
случае, когда
и
являются однородными функциями одного
и того же измерения. Это вытекает из
того, что отношение двух однородных
функций – функций одного и того же
измерения является однородной функцией
нулевого измерения.
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида
,
(9)
где
и
-
непрерывные функции от
.
Будем искать решение уравнение (9) в виде произведения двух функций от
.
(10)
Дифференцируя обе части равенства
(10), находим
.
Подставляя
полученное значение производной
в уравнение (9), имеем
,
или
.
(11)
Выберем функцию
такой, чтобы
(12)
Разделяя
переменные в этом дифференциальном
уравнении, находим
,
.
Интегрируя, получим
,
или
.
Так как нам достаточно какого-нибудь отличного нуля решения уравнения (12), то за функцию возьмем
.
(13)
Очевидно, что
.
Подставляя найденное значение в (11) и, учитывая (12), получим
или
;
.
Подставляя значения
и
в формулу (10), получаем
.
(14)