3). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
Условие, что при
функция
должна равняться заданному числу
,
называется начальным условием.
Оно записывается в виде
.
Задача отыскания решений дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, носит название задачи Коши.
Теорема существования и единственности решения.
Для уравнения 1- го порядка справедлива следующая теорема:
Теорема (о
существовании и единственности решения
дифференциального уравнения первого
порядка). Если в уравнении
функция
и ее частная производная
непрерывны в некоторой области
на плоскости
,
содержащей точку
,
то в некоторой окрестности точки
существует единственное решение этого
уравнения
,
удовлетворяющее условию: при
,
.
Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция , график которой проходит через точку .
Из сформулированной теоремы следует, что уравнение (2) имеет бесконечное число различных решений, ибо через каждую точку области проходит одно решение.
4). Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
Замечание: При нахождении решения линейного уравнения (9) можно пользоваться формулой (14).
Уравнение вида
(15)
называется
уравнением Бернулли.
Прежде всего
отметим, что при
уравнение (15) принимает вид
то есть является
уравнением с разделяющимися переменными,
общее решение которого
Разумеется, считаем,
что
и
непрерывны на некотором интервале
.
Область изменения
величины
в (15) определяется значением
,
то есть областью существования функции
.
Для решения д.у. (15) делаем замену
,
(16)
то есть вместо одной неизвестной
функции вводим две! Но появляется
возможность при этом выбрать одну
функций
или
,
как будет удобнее. Постановка (16) в (15)
дает
.
(17)
Найдем
из уравнения
(18)
то есть
положим
.
(19)
При этом среди первообразных для
выберем наиболее удобную. С учетом (18)
уравнение (17) принимает
вид
Это уравнение с
разделяющимися переменными
и общее решение
(20)
его с учетом
(19) имеет вид
(21)
По (16)
окончательно
Разумеется, не следует запоминать формулу (21). Надо использовать алгоритм, описанный в (16) – (19).
Рассмотрим дифференциальное уравнение
.
(22)
Предположим, что
,
дифференцируемые в некоторой области
.
Определение.
Если левая часть уравнения (22) представляет
собой полный дифференциал некоторой
функции
,
то (22) называется уравнением в полных
дифференциалах.
Другими словами, уравнение (22) представляется в виде
;
(23)
откуда, интегрируя, найдем общий
интеграл
.
При каких условиях
относительно функцией
,
уравнение (22) будет в полных дифференциалах?
Если оно в полных дифференциалах, то
как его решить, т.е., как найти функцию
?
Ответы на эти вопросы дает следующая
теорема.
Теорема. Для того чтобы уравнение (22) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в области выполнялось условие
(24)
Рекомендуемая литература:
1. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 том. М.- 2004.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. 2 том. М.: Высшая школа,- 2003.