Что и требовалось доказать. Вопрос №22: (Определение обратной матрицы. Единственность обратной матрицы. Необходимое условие существования обратной матрицы.)
Матрица
называется
обратной
матрицей
для квадратной матрицы
,
если
.
Из
определения следует, что обратная
матрица
будет
квадратной матрицей того же порядка,
что и матрица
(иначе
одно из произведений
или
было
бы не определено).
Обратная
матрица для матрицы
обозначается
.
Таким образом, если
существует,
то
.
Из
определения обратной матрицы следует,
что матрица
является
обратной для матрицы
,
то есть
.
Про матрицы
и
можно
говорить, что они обратны друг другу
или взаимно обратны. Если
матрица
имеет обратную, то
и
.
Доказательство.
Так
как определитель произведения матриц
равен произведению определителей, то
.
Так как Определитель
единичной матрицы равен единице
,
поэтому
,
что невозможно при
.
Из предыдущего равенства следует также
.
Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Вопрос №23: (Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.)
Дана
матрица
.
Требуется вычислить обратную к ней
матрицу
.
Алгоритм решения:
1)
Записать исходную матрицу с присоединенной
к ней единичной.
2)
Алгебраическими
преобразованиями,
проводимыми со строками полученной
составной матрицы приводим ее к такому
виду, чтобы в левой половине стояла
единичная матрица. Тогда в правой
половине будет стоять матрица
.
Т.е.
должно получиться в итоге
