Вопрос №19: (Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о «фальшивом разложении» определителя по строке (столбцу).)

Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя, вопрос №18!

Теорема о «фальшивом разложении» определителя по строке:

Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, i-ой строки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строки, кроме i-ой, такие же, как у матрицы А, а элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что |A′| = 0 . С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i-ой строки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов i-ой строки матрицы А. Но элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матри- цы А. Таким образом, сумма произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-ой строки матрицы А.

Вопрос №20: (Определитель Вандермонда. Критерий равенства его нулю.)

Определителем Вандермонда называется определитель

Доказательство:

Данная формула показывает, что определитель Вандермонда равен нулю тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна пара такая, что

Определитель Вандермонда имеет многочисленные применения в разных областях математики. Например, при решении задачи интерполяции многочленами, т.е. задачи о нахождении многочлена степени , график которого проходит через заданных точек плоскости с абсциссами , определитель Вандермонда возникает как определитель системы линейных уравнений, из которой находятся неизвестные коэффициенты искомого многочлена.

Вопрос №21: (Определитель произведения квадратных матриц.)

Пусть и — квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда

т.е. определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Доказательство теоремы проводится в три этапа.

Во-первых, теорема справедлива, если один из сомножителей имеет простейший вид. Пусть, например, матрица квадратная л-го порядка имеет простейший вид: . Если , то в произведении последние строк будут нулевыми. Тогда по свойствам 1,2 определителей: и , т.е. равенство (2.6) верно. Если же , то — единичная матрица. Тогда

т.е. равенство справедливо. Аналогично рассматривается случай, когда матрица имеет простейший вид.

Второй этап — доказательство формулы для элементарных матриц. Если матрица элементарная, то ее определитель равен или 1 соответственно, а произведение есть элементарное преобразование столбцов матрицы . По свойствам 1, 3, 6 или 9 определителей убеждаемся в справедливости. Аналогично рассматривается случай, когда матрица элементарная вида.

Третий этап — доказательство формулы для произвольных квадратных матриц n-го порядка. Любую квадратную матрицу можно представить в виде произведения простейшей (она является элементарной) и элементарных преобразующих матриц:

и .

Тогда, используя результат первых двух этапов, можно записать